Macierz odwrotna

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz $A$ jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz $B,$ że zachodzi

$AB=BA=I,$

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową. Macierz $B$ nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznacza się przez $A^{-1}$.

Jeżeli taka macierz $B$ nie istnieje, to macierz $A$ nazywamy nieodwracalną.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

Pełna grupa liniowa

Szablon:Osobny artykuł Dla danego pierścienia $R$ zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia $n$ jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia $n$ nad $R$ i oznacza ${\mathrm{GL}}_n(R).$

Odwracalność a nieosobliwość

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień $R,$ nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli $R$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień $R$ nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste $R$ i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji $R^{*},$ czyli grupie $R^{*}/[R^{*},R^{*}]$).

Własności

• Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:

  ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A.$

• Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,

  ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).

• Jeżeli macierz $A$ jest odwracalna, to także $A^T$ jest odwracalna,

  ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T.$

Uwagi

• Macierz jednostkowa $I$ jest odwracalna oraz $I^{-1}=I$ (wynika wprost z definicji).
• Macierz zerowa $\mathrm{\Theta }$ jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
• Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech $A$ będzie odwracalna, wówczas $A+(-A)=\mathrm{\Theta }.$
• Dla nieosobliwej macierzy $A$ zachodzi równość $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}.$

Przykłady

Macierz

$A=\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ 13& 8\end{array}\right]\in M_2(\mathbb{Z})$

ma wyznacznik równy $-1,$ którego odwrotność w pierścieniu $\mathbb{Z}$ również wynosi $-1.$ Zatem macierz $A$ ma macierz odwrotną w $M_2(\mathbb{Z}).$

Rzeczywiście,

$\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ 13& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-8& 5\\ 13& -8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-8& 5\\ 13& -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ 13& 8\end{array}\right],$

a więc

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-8& 5\\ 13& -8\end{array}\right].$

Macierz

$B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 4\end{array}\right]\in M_2({\mathbb{Z}}_8)$ gdzie ${\mathbb{Z}}_8$ jest pierścieniem reszt modulo 8

ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu ${\mathbb{Z}}_8$ jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi $3$).

Macierz $B$ jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

$B^{-1}=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 5& 3\end{array}\right].$

Wyznaczanie

Metoda dopełnień algebraicznych

Szablon:Osobny artykuł Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy $A$ obliczamy następująco:

$A^{-1}=\frac{A^D}{\det A},$

gdzie $A^D$ jest macierzą dołączoną do macierzy $A$ (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Szablon:Osobny artykuł Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech $X\in M_{i\times j}(K),$ zaś $Y\in M_{i\times k}(K).$ Przez $[X|Y]\in M_{i\times (j+k)}(K)$ rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze $j$ kolumn jest kolumnami macierzy $X,$ a następne $k$ kolumn jest kolumnami macierzy $Y$ (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do $A,$ należy rozwiązać układ równań $AB=I$ względem macierzy $B,$ która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy $[A|I]$ domnożyć macierz $B$ (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz $[AB|IB]$ (lub $[BA|BI]$). Ponieważ $B=A^{-1}$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako $[A|I]\mapsto [I|A^{-1}].$

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy $B,$ wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz $[A|I]$ w macierz $[I|A^{-1}].$ Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy $A$ w podmacierz jednostkową $I$ za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne

• Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:

  $\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^{-1}=\mathrm{diag}(\frac{1}{{\lambda }_1},\dots ,\frac{1}{{\lambda }_n}).$

• Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej $Q$ jest równa jej transpozycji (przestawieniu):

  $Q^{-1}=Q^T.$

• Macierz odwrotna do macierzy wymiaru $2\times 2$ może być szybko wyznaczona według wzoru

  ${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

Zobacz też

• uogólniona macierz odwrotna

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Krzysztof Kwiecień, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:
  • Wprowadzenie do macierzy odwrotnych, 28 września 2018.
  • Kiedy macierz ma macierz odwrotną?, 29 września 2018.
• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Macierze cz. IV. Macierz odwrotna, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:Otwarty dostęp Inverse matrix Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-22].