Macierz jednostkowa

Wersory z bazy kanonicznej na płaszczyźnie, reprezentowane przez $I_2$ – macierz jednostkową wymiaru 2

Macierz jednostkowa, inaczej identycznościowa, tożsamościowaSzablon:Odn – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

$a_{ij}=\{\begin{array}{c}1\text{dla}i=j\\ 0\text{dla}i\ne j\end{array}.$

Skrótowo: $a_{ij}={\delta }_{ij},$ gdzie ${\delta }_{ij}$ to symbol KroneckeraSzablon:Odn. Obrazowo: na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem $I.$ Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też $I_n,$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to $E$ i $E_n$Szablon:Odn.

Macierz jednostkowa reprezentuje wersory z bazy standardowej danej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, np. przestrzeni euklidesowej: $I_n=[{\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2\dots {\overrightarrow{e}}_n].$ Oprócz tego macierz jednostkowa reprezentuje tożsamościowe odwzorowanie linioweSzablon:Odn.

Przykłady

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\dots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right]$

Własności

Własności układu wektorów

• Macierz jednostkowa wymiaru $n$ ma rząd równy $n,$ ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) są liniowo niezależne. $\text{rz}{I}_n=n$Szablon:OdnSzablon:Odn. To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.

• Jej wyznacznik jest równy 1. $\det I=|I|=1.$ Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech)Szablon:Odn.

• Jest równa swojej macierzy dopełnień algebraicznych i swojej macierzy dołączonej: $I^D=I.$

Własności odwzorowania liniowego

Własności ogólne

• Macierz jednostkowa reprezentuje identycznośćSzablon:Odn, dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}\in {𝕂}^n:I_n\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.$

To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów). $\mathrm{\forall }\phi \in ({𝕂}^n{)}^{*}:\phi I_n=\phi .$

• Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, a jądrem – wektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne. $\text{im}{I}_n={𝕂}^n,\ker I_n=\{\overrightarrow{0}\}.$

Własności mnożenia

• Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze). Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą: $IA=AI=A$Szablon:Odn.

Macierz jednostkowa jest zatem elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia. Równoważnie: reprezentuje jedynkę pierścienia endomorfizmów danej przestrzeni liniowej. Jest też jedynką pełnej grupy liniowej i jej wszystkich podgrup.

Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementySzablon:Fakt.

• W szczególności: macierz jednostkowa jako identyczność komutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grupSzablon:Odn. $[I,A]=O$ dla pierścieni oraz $[I,A]=I$ dla grup, gdzie $O$ jest kwadratową macierzą zerową.

• Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojej macierzy odwrotnej: $I^{-1}=I.$ Innymi słowy jest przykładem inwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny $(n),$ wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.

• Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom): $I^2=I\Rightarrow \mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:I^p=I.$ Innymi słowy jest idempotentna, czyli jest rzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika $p$ całkowitego $(\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Z}).$

• Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. $p(I)=Ip(1),$ podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi $e^I=eI$ – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.

• Macierz kwadratową $A$ wymiaru $n$ można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie $A$ przez inną macierz $M$ było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy $M$ wynosił $n.$ Innymi słowy: dla każdego $m\in \mathbb{N}$ wykonalne są działania $A_n{B}_{n\times m}$ i $C_{m\times n}{A}_n.$ W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli $A_n=I_n,$ to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz: $IB=B,CI=C.$

• Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej $I$ można oznaczyć przez $I^{1/2}$ i zdefiniować równaniem: $(I^{1/2}{)}^2=I.$ Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:

$I_2^{1/2}=\left[\begin{array}{cc}d& \frac{1-d^2}{c}\\ c& -d\end{array}\right]$

oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb $d,c$Szablon:Fakt.

Własności diagonalizacji

• Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor: $I\overrightarrow{v}=1\cdot \overrightarrow{v}.$ Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).

• Macierz jednostkowa jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.

• Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. $p_I(\lambda )=(\lambda -1{)}^n$. Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa: ${\mu }_I(\lambda )=\lambda -1.$ Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.

• Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy. $\text{tr}{I}_n=n.$

Własności związane z iloczynami skalarnymi

• Macierz jednostkowa jest macierzą symetryczną, czyli równą swojej transpozycji: $I^T=I.$ Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe $(id)$ jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne: $[id]=[i{d}^{*}].$ Zachodzi tożsamość $⟨Iu,v⟩=⟨u,Iv⟩,$ gdzie $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ to iloczyn skalarny, a $u,v$ to wektory odpowiedniej przestrzeni.

• Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierzą dodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadana forma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadaną formą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.

• Jako macierz symetryczna (nad ciałem liczb rzeczywistych) jest też automatycznie hermitowska nad ciałem liczb zespolonych, w kontekście półtoraliniowego iloczynu skalarnego. $I^{†}=I.$

• Jako macierz diagonalna spełnia warunki antysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych: $i\ne j\Rightarrow a_{ij}=-a_{ij}=0.$ Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe: $\mathrm{\exists }i\in \{1,\dots ,n\}:a_{ii}\ne 0.$

• Macierz jednostkowa jest jednocześnie ortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są parami ortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układ ortonormalny: ${\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j={\delta }_{ij}.$ Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji: $I^{-1}=I^T=I.$ Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny: $⟨Iu,Iv⟩=⟨u,v⟩.$

• Jako macierz ortogonalna jest też automatycznie unitarna. $I^{-1}=I^{†}=I.$ Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.

Uogólnienia

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej, a przez to: macierzy diagonalnejSzablon:Odn:

$I_n=\mathrm{diag}(1,1,\dots ,1).$

Przez to jest też szczególnym przypadkiem macierzy trójkątnej i macierzy schodkowej. Niezależnie od tego, jako macierzy diagonalna jest szczególnym przykładem macierzy wstęgowej i ma postać kanoniczną Jordana. Można ją też zaliczać do macierzy operacji elementarnych.

Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznie liczbami całkowitymi. To wyróżnione elementy ciała $𝕂,$ nad którym zdefiniowano macierz i odpowiednią przestrzeń liniową ${𝕂}^n,$ do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczać funkcje stałe lub reszty z dzielenia (elementy ciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się na moduły nad pierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Rozdział VII. Wektory i przestrzenie wektorowe, § 6. Kryteria zależności liniowej,

Rozdział VIII. Algebra macierzy, § 3. Mnożenie macierzy.

• Szablon:Cytuj książkę

Rozdział I. Początki algebry, § 3. Układy równań liniowych. Pierwsze kroki,

Rozdział II. Macierze, § 3. Przekształcenia liniowe. Działania na macierzach,

Rozdział III. Wyznaczniki, § 4. Uwagi o konstrukcji teorii wyznaczników.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:
  • Wprowadzenie do macierzy jednostkowej, 20 września 2017.
  • Wymiary macierzy jednostkowej, 20 września 2017.
• Szablon:MathWorld