Jądro (algebra)

Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu $f$ jego jądro oznacza się zwykle $\ker f$ (od Szablon:Ang.)^[1].

Homomorfizm grupowy

Szablon:Osobny artykuł Niech $f : G \to H$ będzie homomorfizmem grup. W teorii grup jądrem homomorfizmu $f$ nazywamy podgrupę $f^{- 1} (e),$ gdzie $e$ jest elementem neutralnym działania w grupie $H .$

Homomorfizm $f : G \to H$ jest przekształceniem różnowartościowym (monomorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker f = {e} .$

Szablon:Osobny artykuł Niech $f : R \to S$ będzie homomorfizmem pierścieni. W teorii pierścieni jądrem homomorfizmu $f$ nazywa się podzbiór $f^{- 1} (0),$ gdzie $0$ oznacza element neutralny w grupie addytywnej pierścienia $R .$

Niech $f : U \to V$ będzie przekształceniem liniowym (homomorfizmem przestrzeni liniowych) między przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K .$ W algebrze liniowej jądrem przekształcenia liniowego $f$ nazywany jest przeciwobraz wektora zerowego, czyli podzbiór

{x \in U : f (x) = 0} .

$\ker f$ jest podprzestrzenią liniową dziedziny przekształcenia $f,$
$\dim f = \dim \ker f + \dim im f,$ gdzie $im f$ oznacza obraz przekształcenia $f,$
przekształcenie $f$ jest różnowartościowe $⟺ \ker f = {0} .$