Homomorfizm grup

Szablon:Spis treści Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr.

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Definicja

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech $G,G^{\prime }$ będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki. Przekształcenie $\phi :G\to G^{\prime }$ nazywa się homomorfizmem grupy $G$ w grupę $G^{\prime },$ jeżeli dla każdego $a,b\in G$ zachodzi

$\phi (ab)=\phi (a)\cdot \phi (b).$

Działanie homomorfizmu $\phi$ na elemencie $a,$ zwyczajowo zapisywane $\phi (a)$ lub po prostu $\phi a,$ bywa w niektórych monografiach odwracane: $a\phi ;$ można również spotkać się z oznaczeniem $a^{\phi }.$ Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się $(ab)\phi =a\phi \cdot b\phi$ lub $a{b}^{\phi }=a^{\phi }\cdot b^{\phi },$ przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. $(a+b)\phi =a\phi +b\phi$ zamiast $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$.

Własności

Homomorfizmy

Szablon:Zobacz też Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech $a\in G,$ wtedy zachodzą następujące własności:

• zachowywanie elementu neutralnego

  $\phi (1)=1^{\prime },$

• zachowywanie elementu odwrotnego

  $\phi \left(a^{-1}\right)=\phi (a{)}^{-1}.$

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu,

$\phi \left(a^n\right)=\phi (a{)}^n,$

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)

$\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(\phi (a))|\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(a).$

Inne morfizmy

Szablon:Zobacz też Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm $\phi :G\to G.$ Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm $\phi :G\to G^{\prime },$ dla którego istnieje homomorfizm odwrotny $\psi :G^{\prime }\to G,$ czyli spełniający tożsamość $\psi \circ \phi =\phi \circ \psi =ı,$ gdzie $ı$ jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy, nazywa się izomorfizmem. Grupy $G,G^{\prime }$ dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza $G\simeq G^{\prime };$ relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm ${\phi }^{-1}$ odwrotny do izomorfizmu $\phi$ również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy $G$ tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie $\circ ,$ a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy $ı.$

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obraz

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu $\phi$ definiuje się odpowiednio jako zbiory

$\ker \phi =\{a\in G:\phi (a)=1^{\prime }\}={\phi }^{-1}\left[1^{\prime }\right]$

oraz

$\mathrm{i}\mathrm{m}\phi =\{\phi (a)\in G^{\prime }:a\in G\}=\phi [G],$

gdzie $\phi []$ i ${\phi }^{-1}[]$ oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu $\phi .$ Obraz $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi$ jest podgrupą w $G^{\prime },$ a jądro $\ker \phi$ jest podgrupą normalną w $G;$ odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm $\phi ,$ który ma trywialne jądro, $\ker \phi =\{1^{\prime }\};$ z kolei epimorfizm to homomorfizm $\phi ,$ którego obraz jest całą przeciwdziedziną, $\mathrm{im}\phi =G^{\prime }.$ Izomorfizm $\phi$ definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

Faktoryzacja

Szablon:Zobacz też Podgrupa normalna $N$ wyznacza jednoznacznie podział $G$ na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową $G/N$ grupy $G$ przez $N;$ przekształcenie rzutowe $\pi :G\to G/N$ grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm $\psi :G/N\to G^{\prime }$ spełniający $\psi \circ \pi =\phi ;$ z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między $G/N$ a $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi .$ Grupę $G/\ker \phi$ nazywa się niekiedy koobrazem $\phi ,$ z kolei jeżeli $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi$ jest podgrupą normalną w $G^{\prime },$ to $G^{\prime }/\mathrm{i}\mathrm{m}\phi$ nazywa się kojądrem $\phi .$

Działania

Szablon:Zobacz też Niech $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G,G^{\prime })$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń $G\to G^{\prime }.$ Dla dwóch przekształceń $\phi ,\psi \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G,G^{\prime })$ można określić punktowo działanie ich dodawania $\phi +\psi$ wzorem

$(\phi +\psi )(a)=\phi (a)\cdot \psi (a)$

dla wszystkich $a\in G,$ które jest łączne (własność odziedziczona z grupy $G^{\prime }$). Homomorfizm zerowy $\theta \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,G^{\prime })$ (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego $\phi \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,G^{\prime })$ istnieje element przeciwny $-\phi \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,G^{\prime })$ dany wzorem $(-\phi )(a)=\phi (a{)}^{-1}$. Innymi słowy $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G,G^{\prime })$ tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli $G^{\prime }$ jest przemienna.

Niech $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G)=\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G,G)$ oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy $G$ w siebie, wówczas $\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(G)$ oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje $G,$ czyli przekształcenia odwracalne należące do $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G).$ Dodawanie przekształceń $G$ w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli $\phi ,\psi ,\sigma \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G),$ to

$(\phi +\psi )\circ \sigma =\phi \circ \sigma +\psi \circ \sigma ,$

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. $\sigma \circ (\phi +\psi )=\sigma \circ \phi +\sigma \circ \psi .$ Strukturę określoną na zbiór $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G)$ z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego $ı\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G).$

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych $G\to G^{\prime }$ będącą podzbiorem $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G,G^{\prime })$ oznacza się symbolem $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,G^{\prime });$ z kolei zbiór $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,G)$ endomorfizmów grupy $G$ oznacza się $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G).$ Ponieważ dla $\phi ,\psi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)$ ich złożenie $\phi \circ \psi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G),$ to $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)$ jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G);$ mimo wszystko $\phi +\psi$ nie musi należeć do $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G),$ jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach $\phi ,\psi$ mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element $\mathrm{i}\mathrm{m}\phi$ jest przemienny z dowolnym elementem $\mathrm{i}\mathrm{m}\psi$, co więcej $\phi +\psi =\psi +\phi$.

Jeśli $\phi ,\psi \in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(G),$ zaś $\sigma \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G),$ to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania,

$\sigma \circ (\phi +\psi )=\sigma \circ \phi +\sigma \circ \psi .$

Gdy $G$ jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)$ ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy $G.$ Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli $ı+ı\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G),$ to z powyższego wynika, że $G$ jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli $\alpha \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$ oraz $\beta ,\gamma \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,C)$ i $\delta \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(C,D)$ są homomorfizmami grup abelowych $A,B,C,D,$ to $(\beta +\gamma )\circ \alpha =\beta \circ \gamma +\gamma \circ \alpha$ oraz $\delta \circ (\beta +\gamma )=\delta \circ \beta +\delta \circ \gamma .$ Wynika stąd, że kategoria $𝐀𝐛$ wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to $𝐀𝐛$ jest kategorią abelowąSzablon:Odn; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

Niezmienniczość

Szablon:Zobacz też Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)$ nazywa się grupą automorfizmów $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ grupy $G$. Przekształcenie $\phi :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ grupy $G$ w grupę jej automorfizmów dane wzorem $\phi (a)={\phi }_a,$ gdzie automorfizm ${\phi }_a$ jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. ${\phi }_a(g)=ag{a}^{-1}$ dla dowolnego $g\in G,$ jest homomorfizmem grup, ponieważ

$\phi (ab)={\phi }_{ab}={\phi }_a\circ {\phi }_b=\phi (a)\circ \phi (b).$

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

$\ker \phi =\{a\in G:\phi (a)=ı\}=\{a\in G:{\phi }_a(g)=ag{a}^{-1}=g\text{ dla }g\in G\}$

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum $\mathrm{Z}(G)=\{a\in G:ag=ga\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}g\in G\}$ grupy $G;$ obrazem jest z kolei

$\mathrm{i}\mathrm{m}\phi =\{\phi (a)\in G^{\prime }:a\in G\}=\{{\phi }_a\in G^{\prime }:{\phi }_a(g)=ag{a}^{-1}\text{ dla }a,g\in G\},$

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G);$ automorfizmy te tworzą podgrupę w $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G),$ która jest normalna – grupę ilorazową $\mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)/\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G)$ nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę $H$ grupy $G$ nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli $\phi (H)$ jest podgrupą w $H$ dla dowolnego $\phi \in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G);$ jeżeli $H$ spełnia ten sam warunek dla dowolnego $\phi \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G),$ to nazywa się ją charakterystyczną, jeśli dla $H$ zachodzi $\phi \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G),$ to jest ona normalna. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Przykłady

Homomorfizm $\theta :G\to G^{\prime }$ dany wzorem $\theta (a)=1^{\prime }$ dla dowolnego $a\in G$ nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w $G^{\prime }.$ Odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy $G$ jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, gdyż homomorfizmy zachowują potęgę elementu): dowolny element $a\ne 1$ rzędu większego niż $1$ jest przekształcany przez $\theta$ na element $1^{\prime }$ rzędu $1.$

Homomorfizm $ı:G\to G$ zdefiniowany jako $ı(a)=a$ dla każdego $a\in G$ jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy $G.$ Jest on nazywany identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie $G$ rzędu większego niż $2$ istnieje różny od $ı$ automorfizm: jeśli $G$ jest przemienna (abelowa), to jest nim $ȷ:a\mapsto a^{-1}$ dla $a\in G$, w grupie nieprzemiennej można wybrać element $a\in \mathrm{Z}(G)$ należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny ${\phi }_a$ jest nietrywialny.

Niech ${ℝ}^{\times }$ będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej $||:{ℝ}^{\times }\to {ℝ}^{\times }$ przypisujące $r\mapsto |r|$ jest endomorfizmem, którego obraz ${ℝ}_{+}$ jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie $x\mapsto x^2$ również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa $\{-1,1\}$ (izomorficzna z ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ z działaniem dodawania modulo $2,$ braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza $\exp :{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{\times }$ jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b),$ którego jądrem jest zbiór $\{1\},$ a obrazem jest zbiór ${ℝ}_{+}$ dodatnich liczb rzeczywistych ($\exp$ jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm $\exp :R^{+}\to R_{+}^{\times }$ w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja $f:{ℝ}^{+}\to {\mathrm{S}}^1$ dana wzorem $t\mapsto e^{2\pi it}$ jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu), którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V_4)\simeq S_3.$ Grupa $V_4$ jest jedyną grupą $G$ rzędu większego niż $3,$ dla której $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$ składa się ze wszystkich bijekcji ${\phi }_1:G\to G$ zachowujących jedynkę grupy. Pierścień $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V_4)$ grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{2\times 2}({\mathbb{Z}}_2)$ macierzy typu $2\times 2$ nad ${\mathbb{Z}}_2\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$

Zobacz też

• homomorfizm pierścieni

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

ru:Глоссарий теории групп#Г