Grupa czwórkowa Kleina

Szablon:Spis treści Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami $V_4$ lub $K_4.$

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa KleinaSzablon:Odn, który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 rokuSzablon:Odn.

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje

Grupę Kleina definiuje działanie $\circ$ określone na zbiorze czterech (różnych) elementów $V_4=\{e,a,b,c\}$ dane jak w tabeli niżejSzablon:Odn, gdzie element $e$ jest elementem neutralnym.

Tabliczka działania grupy $V_4$

$\circ$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów $a,b$ oraz trzech relacji $a^2=e,$ $b^2=e$ i $(ab{)}^2=e;$ innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

$V_4=⟨a,b\mid a^2=b^2=(ab{)}^2=e⟩.$

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom $e,a,b,c$):

• iloczyn prosty ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$ (z dodawaniem modulo 2):

  $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1);$

• grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):

  identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o $180^{\circ };$

• podgrupa permutacji grupy symetrycznej $S_4:$

  $\mathrm{id},(12)(34),(13)(24),(14)(23).$

Można ją również skonstruować na zbiorze $\{\bar{1},\bar{3},\bar{5},\bar{7}\}$ z operacją mnożenia modulo 8. W tym wypadku $a$ odpowiada $\bar{3},$ $b$ opisuje $\bar{5}$ i wreszcie $c=ab$ to istotnie $\bar{3}\cdot \bar{5}=\overline{15}\equiv \bar{7}.$

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwaSzablon:Odn (nie jest więc grupą cykliczną); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania.

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych; druga z nich jest grupą cykliczną.

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-09-05].

Szablon:Kontrola autorytatywna