Rząd (teoria grup)

Szablon:Spis treści Rząd – pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol $e$ będzie oznaczać ich element neutralny.

Definicja

Rzędem grupy $(G, \cdot)$ nazywa się moc zbioru $G .$ Jeżeli $G = ⟨ g ⟩,$ tzn. grupa $G$ jest generowana przez element $g,$ to rzędem elementu $g$ nazywa się rząd grupy $G$ (w szczególności odnosi się to do grupy będącej podgrupą innej). Ponieważ $⟨ g ⟩$ jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu $g$ nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną $n,$ która spełnia $g^{n} = e .$ Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu $g$ jest nieskończony.

Rząd grupy $G$ oznacza się symbolami $o r d (G), o (G)$ (od ang. order, tu: „rząd”), $r z (G), r (G)$ (od „rząd”), bądź $| G |, # G$ (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu $g$ oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn. $o r d (g), o (g), r z (g), r (g);$ definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

o r d (g) \overset{d f}{=} o r d (⟨ g ⟩) .

Przedstawioną definicję rzędu (jako mocy nośnika grupy) spotyka się zwykle w monografiach, w podręcznikach częstsze jest wykorzystanie liczebności zbioru (pokrywa się z przytoczoną definicją), gdy jest on skończony, w pozostałych przypadkach, bez względu na rodzaj nieskończoności, przyjmuje się, że rząd również jest nieskończony, co dla grupy $G$ zapisuje się zwykle $o r d (G) = \infty$ i podobnie w przypadku rzędu elementu.

Przykłady

Rząd grupy trywialnej $E$ wynosi $1;$ generowana jest ona przez jedyny jej element $e,$ stąd $o r d (E) = o r d (e) = 1$ i dlatego rząd podgrupy trywialnej, czyli grupy generowanej przez element neutralny, również wynosi $1 .$ Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu $1,$ to element mający rząd $1$ musi być elementem neutralnym.
Grupa symetryczna $S_{3}$ to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną $D_{3}$ będącą grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. rysunek obok). Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem $o r d (S_{3}) = o r d (D_{3}) = 6 .$ Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
Choć grupy $S_{3}$ i $D_{3}$ mają rząd $6,$ to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami $6 .$ Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange’a). Inną grupą rzędu $6,$ o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu $6,$ która zawiera element tego rzędu.
Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu $2,$ to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa)^[1]. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu $6,$ która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu $3 .$
Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa $ℂ^{*}$ pierwiastków z jedynki.

Własności

Napisy $(n, m)$ oraz $[n, m]$ będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $n, m .$

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt:

g^{k} = e

wtedy i tylko wtedy, gdy rząd

g

jest dzielnikiem

k

^[2].

Stąd jeśli $g$ ma rząd $n,$ to $g^{k} = g^{l}$ dla dowolnych liczb całkowitych $k, l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $k \equiv l mod n$ ^[3]. Jeżeli $g$ jest rzędu $n,$ to $g^{k}$ ma dla dowolnego całkowitego $k$ rząd $\frac{n}{(k, n)}$ ^[4]. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli $g$ jest rzędu $n$ oraz $d | n$ i $d > 0,$ to $g^{d}$ jest rzędu $\frac{n}{d};$ jeśli $g$ jest rzędu $n$ oraz $g^{k}$ ma rząd $n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(k, n) = 1$ ^[5].

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie $g h$ na podstawie rzędów $g$ oraz $h$ ^[6]. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn. $g h = h g$ ), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu^[7]. Jeśli rzędy $g$ i $h$ są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów^[8]. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy $g$ rzędu $n$ oraz $h$ rzędu $m$ komutują, to pewien ich iloczyn $g^{a} h^{b}$ ma rząd $[n, m]$ – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie $[n, m]$ jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich $a, b,$ by elementy $g^{a}$ i $h^{b}$ miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji $[n, m]$ ^[9].

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu $n$ dla dowolnego elementu $g$ zachodzi $g^{n} = e$ ^[10]. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż

każdy element grupy abelowej skończonego rzędu

n

ma rząd dzielący

n .

Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange’a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy’ego oraz, ogólniejsze, twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej $ℤ_{p}^{*}$ jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Szablon:Teoria grup

↑ Ponieważ dla dowolnego elementu $g$ zachodzi $g g = e,$ to $a b = (b b) a b (a a) = b (b a) (b a) a = b a .$
↑ Niech $n$ oznacza rząd całej grupy. Jeśli $n | k,$ to $k = n m$ dla pewnego $m .$ Wówczas $g^{k} = g^{n m} = (g^{n})^{m} = e .$ W drugą stronę: z twierdzenia o dzieleniu z resztą, przy założeniu, iż $g^{k} = e,$ liczbę $k$ można zapisać w postaci $k = n q + r,$ przy czym $0 ⩽ r < n$ i $r, q$ są liczbami całkowitymi. Wtedy $e = g^{k} = (g^{n})^{q} g^{r} = g^{r} .$ Warunek nałożony na $r$ oraz minimalność $n$ wynikającą bycia rzędem $g$ sprawiają, że musi być $r = 0,$ czyli $k = n q,$ a więc $n | k .$
↑ Wystarczy skorzystać z powyższego faktu zapisując warunek $g^{k} = g^{l}$ w postaci $g^{k - l} = e .$
↑ Kluczem do dowodu jest fakt, iż gdy $a | b c$ oraz $(a, b) = 1,$ to $a | c .$ Niech $t$ będzie rzędem $g^{k}$ – należy wtedy wykazać, że $t = \frac{n}{(k, n)} .$ Ponieważ $g^{k t} = e,$ to $n | k t$ na mocy faktu; dzieląc $n$ i $k$ przez ich największy wspólny dzielnik, zatem $\frac{n}{(k, n)} | \frac{k}{(k, n)} t .$ Ponieważ $\frac{n}{(k, n)}$ oraz $\frac{k}{(k, n)}$ są względnie pierwsze, to $\frac{n}{(k, n)}$ musi dzielić $t,$ a więc $\frac{n}{(k, n)} ⩽ t .$ Nierówność w drugą stronę uzyskuje się zauważając, iż ${(g^{k})}^{n / (k, n)} = {(g^{n})}^{k / (k, n)} = e .$
↑ Ponieważ $\frac{n}{(k, n)} = n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(k, n) = 1 .$
↑ Przykłady z geometrii płaskiej (zob. grupa euklidesowa): złożenie dwóch przesunięć (rząd nieskończony) o przeciwnych wektorach daje tożsamość (rząd skończony równy 1) – w przeciwnym przypadku daje przesunięcie (rząd nieskończony); złożenie dwóch symetrii osiowych (rząd skończony równy 2) o równoległych osiach jest przesunięciem (rząd nieskończony) – gdy osie są prostopadłe, ich złożenie jest obrotem o kąt półpełny (rząd skończony równy 2).
↑ Jeśli $g^{n} = e$ i $h^{m} = e$ oraz $g h = h g,$ to $(g h)^{n m} = g^{n m} h^{n m} = e .$ Więcej: $[n, m]$ jest podzielne przez $n,$ jak i $m,$ tak więc $(g h)^{[n, m]} = g^{[n, m]} h^{[n, m]} = e .$ Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest tylko ograniczeniem górnym na rząd iloczynu – można ją uzyskać jako rząd pewnego iloczynu ich potęg; patrz dalej.
↑ Jeśli $n = o r d (g)$ i $m = o r d (h)$ z powyższej uwagi $g h$ ma skończony rząd, który dzieli $n m$ na podstawie faktu z początku sekcji. Wystarczy wykazać, że jeśli $k = o r d (g h),$ to $n | k$ i $m | k .$ Z przemienności $g, h$ jest $g^{k} h^{k} = e,$ a po podniesieniu obu stron do $m$ -tej potęgi (w celu zlikwidowania czynnika $h$ ) otrzymuje się $g^{k m} = e,$ skąd $n | k m$ na mocy faktu; ponieważ $(m, n) = 1,$ to $n | k .$ Podobnie rugując w powyższej tożsamości czynnik $g$ uzyskuje się $m | k .$ Skoro $n | k, m | k$ oraz $(n, m) = 1,$ to $n m | k,$ a ponieważ $k | n m$ (z pierwszej części dowodu), to $k = n m .$
↑ Jeśli $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ i $m = p_{1}^{f_{1}} \dots p_{r}^{f_{r}}$ są rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze (obie liczby mają w rozkładzie ten sam ciąg różnych liczb pierwszych; jeśli dana liczba nie występuje w rozkładzie, to jej wykładnik jest równy zeru), to ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa $[n, m] = p_{1}^{\max (e_{1}, f_{1})} \dots p_{r}^{\max (e_{r}, f_{r})} .$ Niech $k = \prod_{e_{i} ⩾ f_{i}} p_{i}^{e_{i}}$ oraz $l = \prod_{e_{i} < f_{i}} p_{i}^{f_{i}},$ wtedy $[n, m] = k l$ i $(k, l) = 1$ (gdyż $k, l$ nie mają wspólnych czynników pierwszych); zatem, z konstrukcji, $k | n$ oraz $l | m .$ Komutujące elementy $g^{n / k}, h^{m / l}$ mają więc względnie pierwsze rzędy odpowiednio równe $k, l,$ dlatego ich iloczyn ma rząd $k l = [n, m] .$
↑ Jeśli $G = {g_{1}, \dots, g_{n}},$ to odwzorowanie $G \to G$ dane wzorem $g_{i} \mapsto g g_{i}$ jest funkcją różnowartościową, a ze skończoności $G$ musi być również „na”; wynika stąd, że ${g g_{1}, \dots, g g_{n}}$ jest tylko (potencjalnie) innym uporządkowaniem elementów grupy $G .$ Porównując iloczyn elementów z obu przedstawień otrzymuje się $g_{1} \dots g_{n} = (g g_{1}) \dots (g g_{n}) = g^{n} (g_{1} \dots g_{n}),$ skąd $g^{n} = e .$ Choć teza obowiązuje również w przypadku nieprzemiennym, to dowód ten jest wtedy niepoprawny.

[1] Ponieważ dla dowolnego elementu $g$ zachodzi $g g = e,$ to $a b = (b b) a b (a a) = b (b a) (b a) a = b a .$

[2] Niech $n$ oznacza rząd całej grupy. Jeśli $n | k,$ to $k = n m$ dla pewnego $m .$ Wówczas $g^{k} = g^{n m} = (g^{n})^{m} = e .$ W drugą stronę: z twierdzenia o dzieleniu z resztą, przy założeniu, iż $g^{k} = e,$ liczbę $k$ można zapisać w postaci $k = n q + r,$ przy czym $0 ⩽ r < n$ i $r, q$ są liczbami całkowitymi. Wtedy $e = g^{k} = (g^{n})^{q} g^{r} = g^{r} .$ Warunek nałożony na $r$ oraz minimalność $n$ wynikającą bycia rzędem $g$ sprawiają, że musi być $r = 0,$ czyli $k = n q,$ a więc $n | k .$

[3] Wystarczy skorzystać z powyższego faktu zapisując warunek $g^{k} = g^{l}$ w postaci $g^{k - l} = e .$

[4] Kluczem do dowodu jest fakt, iż gdy $a | b c$ oraz $(a, b) = 1,$ to $a | c .$ Niech $t$ będzie rzędem $g^{k}$ – należy wtedy wykazać, że $t = \frac{n}{(k, n)} .$ Ponieważ $g^{k t} = e,$ to $n | k t$ na mocy faktu; dzieląc $n$ i $k$ przez ich największy wspólny dzielnik, zatem $\frac{n}{(k, n)} | \frac{k}{(k, n)} t .$ Ponieważ $\frac{n}{(k, n)}$ oraz $\frac{k}{(k, n)}$ są względnie pierwsze, to $\frac{n}{(k, n)}$ musi dzielić $t,$ a więc $\frac{n}{(k, n)} ⩽ t .$ Nierówność w drugą stronę uzyskuje się zauważając, iż ${(g^{k})}^{n / (k, n)} = {(g^{n})}^{k / (k, n)} = e .$

[5] Ponieważ $\frac{n}{(k, n)} = n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(k, n) = 1 .$

[6] Przykłady z geometrii płaskiej (zob. grupa euklidesowa): złożenie dwóch przesunięć (rząd nieskończony) o przeciwnych wektorach daje tożsamość (rząd skończony równy 1) – w przeciwnym przypadku daje przesunięcie (rząd nieskończony); złożenie dwóch symetrii osiowych (rząd skończony równy 2) o równoległych osiach jest przesunięciem (rząd nieskończony) – gdy osie są prostopadłe, ich złożenie jest obrotem o kąt półpełny (rząd skończony równy 2).

[7] Jeśli $g^{n} = e$ i $h^{m} = e$ oraz $g h = h g,$ to $(g h)^{n m} = g^{n m} h^{n m} = e .$ Więcej: $[n, m]$ jest podzielne przez $n,$ jak i $m,$ tak więc $(g h)^{[n, m]} = g^{[n, m]} h^{[n, m]} = e .$ Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest tylko ograniczeniem górnym na rząd iloczynu – można ją uzyskać jako rząd pewnego iloczynu ich potęg; patrz dalej.

[8] Jeśli $n = o r d (g)$ i $m = o r d (h)$ z powyższej uwagi $g h$ ma skończony rząd, który dzieli $n m$ na podstawie faktu z początku sekcji. Wystarczy wykazać, że jeśli $k = o r d (g h),$ to $n | k$ i $m | k .$ Z przemienności $g, h$ jest $g^{k} h^{k} = e,$ a po podniesieniu obu stron do $m$ -tej potęgi (w celu zlikwidowania czynnika $h$ ) otrzymuje się $g^{k m} = e,$ skąd $n | k m$ na mocy faktu; ponieważ $(m, n) = 1,$ to $n | k .$ Podobnie rugując w powyższej tożsamości czynnik $g$ uzyskuje się $m | k .$ Skoro $n | k, m | k$ oraz $(n, m) = 1,$ to $n m | k,$ a ponieważ $k | n m$ (z pierwszej części dowodu), to $k = n m .$

[9] Jeśli $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ i $m = p_{1}^{f_{1}} \dots p_{r}^{f_{r}}$ są rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze (obie liczby mają w rozkładzie ten sam ciąg różnych liczb pierwszych; jeśli dana liczba nie występuje w rozkładzie, to jej wykładnik jest równy zeru), to ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa $[n, m] = p_{1}^{\max (e_{1}, f_{1})} \dots p_{r}^{\max (e_{r}, f_{r})} .$ Niech $k = \prod_{e_{i} ⩾ f_{i}} p_{i}^{e_{i}}$ oraz $l = \prod_{e_{i} < f_{i}} p_{i}^{f_{i}},$ wtedy $[n, m] = k l$ i $(k, l) = 1$ (gdyż $k, l$ nie mają wspólnych czynników pierwszych); zatem, z konstrukcji, $k | n$ oraz $l | m .$ Komutujące elementy $g^{n / k}, h^{m / l}$ mają więc względnie pierwsze rzędy odpowiednio równe $k, l,$ dlatego ich iloczyn ma rząd $k l = [n, m] .$

[10] Jeśli $G = {g_{1}, \dots, g_{n}},$ to odwzorowanie $G \to G$ dane wzorem $g_{i} \mapsto g g_{i}$ jest funkcją różnowartościową, a ze skończoności $G$ musi być również „na”; wynika stąd, że ${g g_{1}, \dots, g g_{n}}$ jest tylko (potencjalnie) innym uporządkowaniem elementów grupy $G .$ Porównując iloczyn elementów z obu przedstawień otrzymuje się $g_{1} \dots g_{n} = (g g_{1}) \dots (g g_{n}) = g^{n} (g_{1} \dots g_{n}),$ skąd $g^{n} = e .$ Choć teza obowiązuje również w przypadku nieprzemiennym, to dowód ten jest wtedy niepoprawny.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Rząd (teoria grup)

Definicja

Przykłady

Własności

Przypisy

Menu nawigacyjne

Szukaj