Twierdzenia Sylowa

Szablon:Spis treści Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera SylowaSzablon:Odn, czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia

Szablon:Zobacz też Niech $p$ będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną $r$ (tzn. największy wspólny dzielnik $\mathrm{n}\mathrm{w}\mathrm{d}(p,r)=1$). Niech $G$ będzie grupą rzędu $|G|=p^{k}r,$ gdzie $k$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu $p^i,$ gdzie $i=1,\dots ,k$ nazywa się $p$-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu $p^k$ nazywane są $p$-podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa

W grupie $G$ istnieje (co najmniej jedna) $p$-podgrupa Sylowa.

Drugie twierdzenie Sylowa

Wszystkie $p$-podgrupy Sylowa grupy $G$ są sprzężone, tzn. dla dowolnych $p$-podgrup Sylowa $H,K$ grupy $G$ istnieje taki automorfizm wewnętrzny ${\phi }_g$ tej grupy (${\phi }_g(a)=ga{g}^{-1}$), że $\phi [H]=K.$

Trzecie twierdzenie Sylowa

Liczba $s_p$ wszystkich $p$-podgrup Sylowa grupy $G$ przystaje do jedynki modulo $p,$ tzn. $s_p\equiv 1modp$ (czyli $p$ jest dzielnikiem $s_p-1,$ tj. $p|s_p-1$).

Wnioski

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że $p$-podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) $p$-podgrupą, a jej indeks równy $r$ nie jest podzielny przez $p,$ innymi słowy $s_p|r.$ Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek $s_p=1$ jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) $p$-podgrupy Sylowa. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli $H$ jest $p$-podgrupą Sylowa w $G,$ zaś $K$ jest $p$-podgrupą normalną w $G,$ to istnieje taki element $g\in G,$ dla którego $K$ jest podgrupą normalną w $gH{g}^{-1}.$

Jeżeli $p$ jest dzielnikiem rzędu $|G|$ grupy $G,$ to w grupie tej istnieje element rzędu $p$ (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto $s_p$ dzieli wtedy $|G|.$ Jeżeli każdy element $g\in G$ ma rząd postaci $p^k,$ to $G$ jest $p$-grupą. Jeśli $p>q$ oraz $|G|=pq,$ gdzie $p,q$ są pewnymi liczbami pierwszymi, to w $G$ istnieje podgrupa normalna rzędu $p;$ jeżeli $q$ nie dzieli ponadto $p-1,$ to grupa $G$ jest cykliczna. W szczególności jeśli $q$ nie dzieli $p-1$ oraz $p$ nie dzieli $q-1,$ to jedyną grupą rzędu $pq$ jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach $p$ i $q.$

Przykłady

Niech $G$ będzie grupą rzędu $33.$ Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa $G$ zawiera $11$-podgrupę $H_{11}$ rzędu $11$ (przynajmniej jedną), a ponadto $s_{11}|3$ oraz $11|s_{11}-1,$ skąd wynika, że $s_{11}=1$ i normalność $H_{11}.$ Podobnie $s_3|11$ oraz $3|s_3-1,$ skąd $3$-podgrupa Sylowa $H_3$ rzędu $3$ grupy $G$ również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z $G,$ co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu $33.$ W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu $99$.

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu $6$ (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna ${\mathbb{Z}}_6$ oraz grupa symetryczna $S_3.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Dowody

• Szablon:Cytuj pismo

• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-10].
• Szablon:Otwarty dostęp Sylow theorems Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].