Podgrupa charakterystyczna

Szablon:Spis treści Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna

Niech $G$ będzie grupą. Podgrupę $H ⩽ G$ nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) $φ$ grupy $G$ i dla każdego elementu $h \in H$ zachodzi $φ (h) \in H$ lub równoważnie $φ (H) \subseteq H .$

Ta właściwość podgrupy $H$ grupy $G$ oznaczana jest symbolem $H ◂ G$ lub $H char G .$

Uwagi

Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Sformułowanie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina $V_{4}$ każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
Jednakże jeśli $H ⊲ G$ i grupa $G$ nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to $H$ musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna

Podgrupa $H$ nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w $G,$ jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna

Jeżeli $H ⩽ G$ jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy $G,$ to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli $φ : G \to G$ jest dowolnym homomorfizmem, to $φ (H) ⩽ H .$

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, zachodzi też twierdzenie odwrotne – każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna

Szablon:Osobny artykuł Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności

Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
Jeśli $G$ jest grupą skończoną, $H$ jest jej podgrupą normalną oraz $NWD (| H |, | G / H |) = 1,$ to $H ◂ G .$

Przechodniość

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $G,$ a $G$ (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E,$ to $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E .$

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

H ◂ G ⊲ E ⟹ H ⊲ E,

w szczególności zaś

H ⊲ G .

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupa ← podgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady

Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
Jeżeli $G$ jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: $G_{k} = {a \in G : a^{k} = 1}$ oraz $G^{k} = {a^{k} \in G : a \in G}, k \in ℕ$ są podgrupami charakterystycznymi grupy $G .$
Niech dana będzie grupa $G = S_{3} \times ℤ_{2}$ (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum $G$ jest jej drugi czynnik, $ℤ_{2} .$ Pierwszy czynnik $S_{3}$ zawiera podgrupę izomorficzną z $ℤ_{2},$ np. ${id, (12)} .$ Niech $φ : ℤ_{2} \to S_{3}$ będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu $G$ na jej drugi współczynnik $ℤ_{2}$ z $φ$ oraz włożeniem $S_{3}$ w $G$ (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm $G$ w którym obraz centrum $ℤ_{2}$ nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy $G .$
Komutant dowolnej grupy $G$ jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu $σ \in Aut (G)$ i dla każdego $x, y \in G$ zachodzi $σ ([x, y]) = [σ (x), σ (y)] .$
Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów

Jeżeli $H ◂ G,$ to każdy automorfizm $G$ indukuje automorfizm na grupie ilorazowej $G / H,$ istnieje stąd przekształcenie $Aut G \to Aut G / H .$

Jeżeli $H$ jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w $G,$ to analogicznie: każdy endomorfizm $G$ indukuje endomorfizm $G / H,$ który daje przekształcenie $End G \to End G / H .$

Zobacz też

Bibliografia

Szablon:Teoria grup