Centralizator i normalizator

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Centralizator

Niech $x\in G.$ Centralizatorem elementu $x$ nazywamy podgrupę

$C_G(x)=\{g\in G:gx=xg\}.$

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru $G,$ niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru $H\subset G$ nazywamy grupę

$C(H)=\{g\in G:{\mathrm{\forall }}_{h\in H}gh=hg\}.$

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru $H.$

Centrum

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

$Z(G)=C_G(G).$

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy $G,$ mamy zatem $Z(G)=\{x\in G:{\mathrm{\forall }}_{g\in G}xg=gx\}.$

O centralizatorze elementu $x$ można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie $H⩽G$ zawierającej $x$ w swoim centrum $Z(H).$

Indeks grupy względem centrum $(G:Z(G))$ można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, $Z(R).$

Twierdzenie Schura

Jeśli $(G:Z(G))<\mathrm{\infty },$ to $|[G,G]|<\mathrm{\infty }.$

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w.

Normalizator

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru $H\subset G.$

Normalizatorem $H$ w $G$ jest podgrupa

$N_G(H)=\{g\in G:gH=Hg\}⩽G.$

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli $H⩽G,$ to $N_G(H)$ jest największą podgrupą $G$ mającą $H$ jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze

Niech $H⩽G$ będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy $\phi :G\to {\mathrm{\Sigma }}_{G/H}$ grupy $G$ na zbiorze warstw $G/H$ zadane wzorem ${\phi }_g(aH)=gaH.$ Wówczas $\ker \phi =\bigcap _{g\in G}gH{g}^{-1}⩽H$ jest podgrupą normalną $G.$ Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w $H.$

Jeśli $H◃G,$ to $H=\ker \phi$

Oznaczenia

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie $G$ mamy więc $C(H)\equiv C_G(H)$ oraz $N(H)\equiv N_G(H)$ dla dowolnego zbioru $H\subset G.$

Własności

Niech $G,G_1,G_2$ będą grupami, $H\subset G:$

• Niech $a,b\in G.$ $a\in C(b)⟺b\in C(a),$ co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ komutują ze sobą.
  • Jeśli $G=\{a\},$ to $N(S)=C(S)=C(a).$
• Jeśli $G$ jest abelowa, to $C(H)=G$ oraz $N(H)=G,$
  • grupa $G$ jest abelowa $⟺Z(G)=G.$
• $C(H)$ jest zawsze podgrupą normalną $N(H),$
  • $Z(G)$ jest podgrupą normalną $G.$
• $Z(G_1\times G_2)=Z(G_1)\times Z(G_2)$
• Jeśli grupa ilorazowa $G/Z(G)$ jest cykliczna, to $G$ jest abelowa.
• Jeśli $G$ jest grupą nieabelową, to jej indeks względem $Z(G)$ jest większy od $3.$
• Jeśli $X\ne \varnothing ,$ to $Z(G^X)=(Z(G){)}^X.$

Uwagi

Jeżeli $H⩽G,$ wtedy grupa ilorazowa $N(H)/C(H)$ jest izomorficzna z podgrupą $\mathrm{Aut}(H),$ grupą automorfizmów $H.$

Jeżeli $N_G(G)=G,$ to $G/Z(G)$ jest izomorficzna z $\mathrm{Inn}(G),$ podgrupą $\mathrm{Aut}(G)$ zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy $G.$

Jeżeli $H\subset G,$ to homomorfizm $\phi :G\to \mathrm{Inn}(G)$ taki, że $\phi (x)(g)={\phi }_x(g)=xg{x}^{-1},$ pozwala na opisanie $N(H)$ oraz $C(H)$ w terminach działania grupy $\mathrm{Inn}(G)$ na grupie $G:$

• $\phi (N(H))$ jest stabilizatorem $H$ w $\mathrm{Inn}(G),$
• $\phi (C(H))⩽\mathrm{Inn}(G)$ jest podgrupą punktów stałych $H.$

Zobacz też

• działanie grupy na zbiorze
• grupa
• grupa ilorazowa

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, Szablon:ISBN.