Podgrupa

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:Spis treści Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”[uwaga 1] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne[uwaga 2] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje

Szablon:Zobacz teżSzablon:Anchor Niech G będzie grupą; podzbiór H⊆G, który tworzy grupę ze względu na działanie określone na G, nazywa się podgrupą grupy G i oznacza zwykle H⩽G[uwaga 3]. Podgrupę H jako grupę charakteryzują następujące warunki:

  • Wewnętrzność: działanie grupowe na H jest zawężeniem działania grupy G do zbioru H; dlatego iloczyn elementów a,b∈H obliczany jest jako iloczyn elementów a oraz b w grupie G; aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na H dane wzorem (a,b)↦ab tak jak w grupie G potrzeba, a zarazem wystarcza, by ab∈H dla wszystkich a,b∈H. Innymi słowy zbiór H musi być zamknięty ze względu na działanie w G.
  • Łączność: działanie w H musi być łączne, czyli dla wszystkich a,b,c∈H musi zachodzić (ab)c=a(bc); wiadomo jednak, że (ab)c=a(bc) dla a,b,c∈G, a ponieważ H⊆G, to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów a,b,c∈H; w ten sposób łączność działania w H dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w G).
  • Element neutralny: zbiór H nie może być pusty, gdyż jako grupa H musi mieć element neutralny; niech e∈H spełnia ae=a dla dowolnego a∈H; w szczególności dla elementu neutralnego e grupy H zachodzi ee=e, a ponieważ e∈H⊆G, to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że e jest elementem neutralnym grupy G; oznacza to, że element neutralny grupy G jest zarazem elementem neutralnym w H, o ile tylko należy on do H, tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w H, gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w G należy do H.
  • Odwracalność: dla każdego a∈H musi istnieć x∈H, dla których ax=e; odczytanie tego równania w grupie G daje natychmiastowo rozwiązanie x=a−1 w postaci elementu odwrotnego do a w grupie G; element odwrotny do a istnieje w G, dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny a−1 do a należący do G jest również elementem H.

Podsumowując: niepusty podzbiór H grupy G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

  • jest zamknięty na działanie: ab∈H dla wszystkich a,b∈H;
  • zawiera element neutralny grupy: e∈H;
  • jest zamknięty na odwracanie: a−1∈H dla każdego a∈H.

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech a∈H (gdyż H jest niepusty, H≠∅), wtedy z trzeciego warunku a−1∈H, a więc aa−1∈H na mocy pierwszego, co daje e∈H. Innymi słowy sprawdzenie, czy e∈H, można pominąć zakładając, iż H jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy H≠∅, to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy e∈H. Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupąSzablon:Anchor
Niepusty podzbiór H grupy G jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki
ab∈Hdla wszystkich a,b∈H;
oraz
a−1∈Hdla kaz˙dego a∈H.

Powyższe dwa warunki (wraz z H≠∅) często łączy się w jeden: a−1b∈H dla wszystkich a,b∈H[uwaga 4]; jest on zupełnie równoważny warunkowi ab−1∈H dla wszystkich a,b∈H[uwaga 5]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą grupy skończonejSzablon:Anchor
Niepusty podzbiór skończony H grupy G bądź niepusty podzbiór H grupy skończonej G jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy ab∈H dla wszystkich a,b∈H[uwaga 6][uwaga 7].

Przykłady

Podgrupy trywialna i niewłaściwaSzablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:Anchor

Szablon:Zobacz też

W dowolnej grupie G zbiór jednoelementowy {e} oraz zbiór G są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli H jest podgrupą właściwą w G, to czasem używa się oznaczenia H<G[uwaga 8], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli H jest podgrupą w G, zaś K jest podgrupą w H, to K jest podgrupą w G.
Kryterium bycia podgrupą

Szablon:Zobacz też

Niech 4ℤ={4z∈ℤ:z∈ℤ}={u∈ℤ:4∣u} będzie podzbiorem liczb całkowitych ℤ podzielnych przez 4. Zbiór ℤ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór 4ℤ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności[uwaga 9], a więc 4ℤ jest podgrupą w ℤ. Analogicznie dowodzi się, że zbiór nℤ={nz∈ℤ:z∈ℤ} dla dowolnego n będącego liczbą naturalną jest podgrupą w ℤ, a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.
Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę ℚ+× w grupie ℚ× niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli a,b>0, to ab>0 oraz 1a>0; podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych ℝ (należy wyżej zastąpić ℚ znakiem ℝ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).
Jeżeli H1,H2 są podgrupami w G, to ich część wspólna H1∩H2 również jest podgrupą w G[uwaga 10]. Analogicznie część wspólna ⋂i∈IHi rodziny {Hi}i∈I podgrup grupy G indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów I również jest podgrupą w G.
Niech S oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego [0,1] liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór T={f∈S:f(0)=0} jest podgrupą w S jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
  • Otóż zbiór T jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe i∈S dane wzorem i(x)=x, dla którego zachodzi i(0)=0.
  • Ponadto jeżeli f,g∈T, to f(0)=0 oraz g(0)=0, co oznacza (f∘g)(0)=f(g(0))=f(0)=0, a więc f∘g∈T.
  • Wreszcie jeśli f∈T, to f(0)=0, a zatem f−1(f(0))=f−1(0), stąd (f−1∘f)(0)=i(0)=f−1(0), tzn. 0=f−1(0), czyli f−1∈T.
Kryterium bycia podgrupą skończoną

Szablon:Zobacz też

Niech dany będzie podzbiór U={1‾,3‾,5‾,7‾} grupy ℤ8 wraz z mnożeniem modulo 8, przy czym x‾ oznacza redukcję liczby całkowitej x modulo 8 (tzn. resztę z dzielenia x przez 8). Ponieważ
1‾ 1‾=1‾,1‾ 3‾=3‾,1‾ 5‾=5‾,1‾ 7‾=7‾,3‾ 1‾=3‾,3‾ 3‾=1‾,3‾ 5‾=7‾,3‾ 7‾=5‾,5‾ 1‾=5‾,5‾ 3‾=7‾,5‾ 5‾=1‾,5‾ 7‾=3‾,7‾ 1‾=7‾,7‾ 3‾=5‾,7‾ 5‾=3‾,7‾ 7‾=1‾,
to zbiór U jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro ℤ8 jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór U powinien być podgrupą w ℤ8. Byłaby to prawda, gdyby ℤ8 była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu 0‾); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).
Mimo to U jest grupą ze względu na mnożenie[uwaga 11]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na ℤ8, co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto 1‾∈U oraz a‾ 1‾=a‾ dla wszystkich a‾∈U (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd 1‾ jest elementem neutralnym w U; każdy element U ma odwrotność należącą do U – wynika to z równań 1‾ 1‾=1‾, 3‾ 3‾=1‾, 5‾ 5‾=1‾, 7‾ 7‾=1‾, oraz 1‾,3‾,5‾,7‾∈U. Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory {1‾,3‾}, {1‾,5‾}, {1‾,7‾} są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w U, gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w U mają rzędy 1,2,4, które są dzielnikami rzędu |U|=4 grupy U.
Podzbiór E={1,−1,i,−i} tworzy podgrupę grupy ℂ× niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że {1,−1} jest podgrupą w E. Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby i lub −i, to musiałaby także zawierać i2,i3,i4 lub (−i)2,(−i)3,(−i)4, czyli tworzyłaby wtedy całą grupę E. Dlatego E ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu 1, jedną rzędu 2 i jedną rzędu 4. W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu |E|=4 grupy E.
Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli P={z∈ℤ:z>0} jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi ℕ), to mimo iż ℤ jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór P jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania (0∉P); rozpatrywanie N={z∈ℤ:z⩾0} (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa ℤ jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).
Sumy mnogościoweSzablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:Anchor

Szablon:Zobacz też

W ogólności suma mnogościowa H1∪H2 podgrup H1,H2 nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy H1⊆H2 lub H1⊇H2[uwaga 12]; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli H jest podgrupą w G zawartą w H1∪H2, to H zawiera się w całości w H1 lub H2 (być może w obu z nich)[uwaga 13][uwaga 14]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę[uwaga 15]. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe[uwaga 16][uwaga 17][uwaga 18], z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych[uwaga 19], zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych[uwaga 20][uwaga 21].
PojęciaSzablon:Anchor

Szablon:Zobacz też

Podgrupę grupy G generowaną przez jej podzbiór X można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru X, tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór X. Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór {a} grupy G nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez a, zaś sam element a nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu a nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.
Przypadki grup U i E opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.
WłasnościSzablon:Anchor

Szablon:Osobny artykuł

Niech G będzie dowolną grupą; zbiór C(x)={a∈G:ax=xa} elementów grupy G przemiennych z ustalonym jej elementem x∈G tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu x[uwaga 22]; podobnie zbiór Z(G)={a∈G:ax=xa dla x∈G} elementów grupy G, które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy G[uwaga 23].
Dla dwóch elementów x,y dowolnej grupy G element [x,y]=xyx−1y−1 nazywa się ich komutatorem; przy czym [x,y]=e wtedy i tylko wtedy, gdy x,y są przemienne, tzn. xy=yx. Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów X,Y grupy G ich komutantem [X,Y] nazywa się podgrupę w G generowaną przez wszystkie komutatory [x,y], gdzie x∈X oraz y∈Y. Podgrupę [G,G] nazywa się komutantem lub pochodną grupy G.
Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup H pewnej grupy G, które są przemienne z dowolnym elementem a∈G, tzn. dla każdego a∈G, zachodzi aH=Ha[uwaga 24][uwaga 25]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup ℤn z mnożeniem modulo n z grupy liczb całkowitych ℤ oraz jej podgrupy nℤ (zob. wyżej).
Ilustracje
Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:
Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też

Uwagi

Szablon:Uwagi

Szablon:Teoria grup

Szablon:Kontrola autorytatywna
Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Podgrupa&oldid=575”