Złożenie funkcji

Ilustracja złożenia dwóch funkcji

Diagram przemienny przedstawiający złożenie funkcji lub innych strzałek

Złożenie funkcji, superpozycja funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja

Niech $f:X\to Y$ oraz $g:Y\to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h:X\to Z$ taką, że:

$h(x)=g(f(x))$ dla $x\in X.$

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ .$ Dla powyższych funkcji

$h=g\circ f,$

zatem dla dowolnego $x$ z dziedziny funkcji $f$ mamy równość:

$h(x)=g(f(x))=(g\circ f)(x).$

Własności

Składanie funkcji nie jest przemienne – przykładowo obrót i ścinanie nie komutują, tzn. wykonanie ich w różnej kolejności daje różne wyniki

Łączność operatora składania oznacza, że $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h,$ czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f\circ g\circ h.$

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora $\circ ,$ jest nieprzemienność. Złożenie $g\circ f$ oznacza relację: $g$ «po» $f,$ $g$ «z» lub «dzięki» $f,$ czy też $g$ «wskutek» lub «utworzony z» $f$ (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie $g\circ f$ nie jest tożsame z $f\circ g.$ Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z.$ Mamy wówczas $f\circ g:Y\to Y,$ a w takim przypadku $f\circ g$ na ogół różni się od funkcji $g\circ f.$

Przykład

Niech $f:ℝ\to ℝ,f(x)=2x+1$ i $g:ℝ\to ℝ,g(x)=x^2.$

Wtedy

$(g\circ f):ℝ\to ℝ,(g\circ f)(x)=(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1,$

natomiast

$(f\circ g):ℝ\to ℝ,(f\circ g)(x)=2(x^2)+1=2x^2+1.$

Widać, iż $g\circ f$ jest inna niż $f\circ g.$

Struktura grupy

Szablon:Osobny artykuł Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• ${\mathrm{\Sigma }}_X,$ czyli grupa symetryczna danego zbioru $X,$ oznaczana również przez $S_X$ albo $\mathrm{Sym}(X),$ czyli grupa wszystkich bijekcji $f:X\to X.$
• Zbiór wszystkich odwzorowań $f:X\to X$ jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f:X\to X,$ to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f\circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^2.$ Analogicznie, $f^3=f\circ f\circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f,$ dla której $(f\circ f)(x)=x$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie $f^2$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^2(x)=f(x)\cdot f(x)$ dla każdego $x\in X.$ W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ zapis ${\sin }^{2}x$ oznacza właśnie $\sin x\cdot \sin x=(\sin x{)}^2.$

Zobacz też

• reguła łańcuchowa
• teoria kategorii
• układ dynamiczny

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:Otwarty dostęp Composite function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-17].