Grupa alternująca

Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego.

Definicja

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu $f:S_n\to \{1,-1\}$ danego wzorem

$f(\sigma )=\{\begin{array}{cc}1,& \text{gdy }\sigma \text{ jest parzysta}\\ -1,& \text{gdy }\sigma \text{ jest nieparzysta}\end{array}.$

Dla grupy symetrycznej rzędu $n$ mówimy również o grupie alternującej stopnia $n$. Grupę taką oznacza się symbolami $A_n$ lub $\mathrm{Alt}(n).$

Przykłady i własności

• Grupą alternującą stopnia 4 jest

  $A_4=\{\mathrm{id},(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\};$

w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.

• Dla $n>1,$ grupa $A_n$ jest podgrupą normalną grupy symetrycznej $S_n$ o $\frac{n!}{2}$ elementach.
• Grupa $A_n$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $n⩽3;$ jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy $n=3$ lub $n⩾5$.
• $A_5$ (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
• Podgrupa alternująca $A_n$ jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej $S_n.$

Zobacz też

• grupa symetryczna
• podgrupa normalna
• silnia

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, Szablon:ISBN, s. 43.