Silnia

Wybrane wartości silni

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 1025
50	~3,041 409 32 · 1064
70	~1,197 857 167 · 10100
100	~9,332 621 544 · 10157
450	~1,733 368 733 · 101000
1000	~4,023 872 601 · 102567
10 000	~2,846 259 681 · 1035 659
100 000	~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000	~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000	~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100	~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$. Zapis $n!,$ $2!$ itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Definicja formalna

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

$!:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_{+}$

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n$

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\text{dla }n⩾1.$

Wartość 0! określa się osobno:

$0!=1.$

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

$n!=\{\begin{array}{cc}1& \text{ dla }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{ dla }n⩾1\end{array}$

Przykłady

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Obliczanie

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), nastąpi ono już dla $n=13.$

n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Przybliżona wartość

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

$\ln n!\approx n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln (2\pi n).$

Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^n).$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{{\alpha }_n},$

gdzie:

$\frac{1}{12n+1}⩽{\alpha }_n⩽\frac{1}{12n}.$

Właściwości

Wzrost

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż Szablon:Link-interwiki. Tempo wzrostu jest podobne do $n^n,$ ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

$n!=\prod _{i=1}^k{p}_i^{{\alpha }_i}=p_1^{{\alpha }_1}\cdot p_2^{{\alpha }_2}\cdot \dots \cdot p_k^{{\alpha }_k},$

to

${\text{ord}}_{p_i}(n!)=\sum _{j=1}^{\lfloor {\log }_{p_i}n\rfloor }\lfloor \frac{n}{p_i^j}\rfloor ,$

tzn. liczba pierwsza $p_i$ pojawia się z wykładnikiem:

${\alpha }_i=\sum _{j=1}^{\lfloor {\log }_{p_i}n\rfloor }\lfloor \frac{n}{p_i^j}\rfloor ,$

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x.$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ przy czym $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n)=\sum _{i=1}^k\lfloor \frac{n}{5^i}\rfloor =\lfloor \frac{n}{5^1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{5^2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{5^3}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{n}{5^k}\rfloor ,$

gdzie $k$ musi spełniać warunek

$5^k⩽n<5^{k+1}.$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

$\lfloor \frac{26}{5}\rfloor +\lfloor \frac{26}{5^2}\rfloor =5+1=6$ zerami.

Jeżeli $n<5,$ nierówności są spełnione przez $k=0;$ w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

• analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!;$
• geometria $n$-wymiarowa, np. stosunek miary $n$-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!;$
• kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$-elementowego jest równa $n!.$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.

Funkcja gamma

Szablon:Osobny artykuł Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\cdot \mathrm{\Gamma }(z).$

Ponieważ $\mathrm{\Gamma }(1)=1,$ więc z powyższego wynika

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

dla wszystkich liczb naturalnych $n.$

Funkcja $\mathrm{\Gamma }$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną $n!!!$ oraz ogólnie silnie $k$-tą, którą oznaczamy jako $n{!}^{(k)}.$ Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

$n{!}^{(k)}=\{\begin{array}{cc}1& \text{ gdy }n=0\\ n& \text{ gdy }0<n⩽k\\ n\cdot (n-k){!}^{(k)}& \text{ gdy }n>k\end{array}$

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n.$ Silnię podwójną oznacza się $n!!.$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

$n!!=\{\begin{array}{cc}1& \text{ dla }n=0\text{ lub }n=1\\ n\cdot (n-2)!!& \text{ dla }n⩾2\end{array}$

Przykład:

$8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$

$9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}$

zależność od funkcji gamma:

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }\frac{(2n-1)!!}{2^n},$ więc:

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})\left(\frac{2^n}{\sqrt{\pi }}\right)=(2n-1)!!$

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Cytuj
• http://factorielle.free.fr Szablon:Lang