Logarytm naturalny

Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperbolicznySzablon:Fakt – logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e=2,718281828...$ Oznaczany ${\log }_e,$ $\ln$.

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do $\frac{1}{e}.$

Logarytm jako pole pod wykresem

Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x

Logarytm naturalny liczby $a$ można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$ w przedziale od $1$ do $a:$

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x.$

Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}.$

Dowód

Oznaczmy:

Szablon:Wzór

Wtedy $a^x=\frac{1}{z}+1.$ Logarytmując obustronnie przy podstawie $e,$ otrzymujemy:

$x\ln a=\ln (1+\frac{1}{z}),$

$\frac{1}{x}=\frac{\ln a}{\ln (1+\frac{1}{z})}.$

Mnożąc obustronnie przez Szablon:LinkWzór, otrzymujemy:

$\frac{a^x-1}{x}=\frac{\ln a}{z\ln (1+\frac{1}{z})}=\frac{\ln a}{\ln {(1+\frac{1}{z})}^z}.$

Teraz należy wykazać, że przy $x\to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z=\frac{1}{a^x-1}.$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\frac{\ln a}{\ln \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to \mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{z})}^z}.$

Wyrażenie ${(1+\frac{1}{z})}^z$ w mianowniku dąży do $e,$ więc mianownik jest równy $\ln e={\log }_{e}e=1,$ co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

$\begin{array}{cc}({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+\mathrm{\Delta }x)-{\log }_a(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\log }_a\left(\frac{x+\mathrm{\Delta }x}{x}\right)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\log }_a{(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}^{\frac{x}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_{a}e\\ & =\frac{1}{x\ln a}.\end{array}$

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie $a=e$ otrzymujemy: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}.$

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na $n$-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: $(\ln x{)}^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot \frac{(n-1)!}{x^n}.$

Własności

• $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$ dla $x,y>0$
• $\ln (x)<\ln (y)$ dla $0<x<y$
• $\frac{h}{1+h}⩽\ln (1+h)⩽h$ dla $h>-1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję $\ln :(0,\mathrm{\infty })\to ℝ$

• $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)$ dla $x,y>0$
• Jeśli ciąg $c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne 0,$ to:

$\frac{\ln (1+c_n)}{c_n}\to 1$

• $\ln e^x=x,$
• $e^{\ln x}=x$ dla $x>0,$
• $\ln x=\ln 10\cdot \log x\approx 2,303\log x$
• $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
• $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$
• $\ln (x)⩽x-1$

Rozwinięcie w szereg Maclaurina

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$ dla $-1<x⩽1$

$\ln (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}(x-1{)}^n=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\frac{(x-1{)}^4}{4}\dots$ dla $0<x⩽2$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-30].