Równoległościan wielowymiarowy

Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech $k⩽n.$ Jeśli ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k$ są liniowo niezależnymi wektorami $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej $V,$ to $k$-wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

$\mathrm{R}({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k)=\{\sum _{i=1}^k{t}_i{𝐱}_i:0⩽t_i⩽1\}.$

Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli $(A,V)$ jest $n$-wymiarową przestrzenią afiniczną (w szczególności może być $A=V$) i danych jest $k⩽n$ liniowo niezależnych wektorów ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k$ przestrzeni $V,$ to $k$-wymiarowym równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie $a\in A$ nazywa się zbiór

$\mathrm{R}(\mathrm{a};{𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k)=\{a+\sum _{i=1}^k{t}_i{𝐱}_i:0⩽t_i⩽1\}=\mathrm{a}+\mathrm{R}({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k).$

Objętość

Szablon:Zobacz też Jeśli $V$ jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić $m$-wymiarową objętość równoległościanu $𝐑({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k)$ jako

$|\mathrm{R}({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k){|}_m=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ dla }m>k,\\ \sqrt{G({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k)},& \text{ dla }m=k,\\ \mathrm{\infty },& \text{ dla }m<k,\end{array}$

gdzie $G({𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k)$ oznacza wyznacznik Grama wektorów ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_k.$ Analogicznie określa się objętość równoległościanu w przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego).

Objętość $m$-wymiarowa równoległościanu $m$-wymiarowego w dowolnej m-wymiarowej przestrzeni $V$ rozpiętego na wektorach ${𝐱}_1,{𝐱}_2,\dots ,{𝐱}_m,$ gdzie wektor ${𝐱}_i$ ma w ustalonej bazie współrzędne $({𝐚}_{i1},{𝐚}_{i2},\dots ,{𝐚}_{im}),$ oblicza się następująco:

$𝐕=\det \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2m}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mm}\end{array}\right].$

Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość.

Zobacz też

• przedział wielowymiarowy