Wzór Stirlinga

Wzór Stirlinga – wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu wartość silni: Szablon:Wzór

Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb $n.$

Formalnie: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1.$

Przybliżona, często używana postać logarytmiczna:

$\ln n!\approx n\ln n-n.$

Wzór Stirlinga stosuje się także dla obliczania przybliżonej wartości funkcji gamma, która rozszerza funkcję silnia na zbiór liczb zespolonych.

Nazwa pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka: Jamesa Stirlinga.

Wyprowadzenie

Wzór, wraz z precyzyjnym oszacowaniem błędu, może być wyprowadzony następująco. Zamiast przybliżać $n!,$ weźmy logarytm naturalny

$\ln n!=\ln 1+\ln 2+\dots +\ln n.$

Następnie, aby znaleźć przybliżenie wartości $\ln (n!),$ stosujemy wzór Eulera-Maclaurina, podstawiając $f(x)=\ln (x):$

$\ln (n)!=n\ln n-n+1-\frac{\ln n}{2}+\sum _{k=2}^m\frac{B_k{(-1)}^k}{k(k-1)}\cdot (\frac{1}{n^{k-1}}-1)+R,$

gdzie $B_k$ to liczba Bernoulliego, a $R$ jest resztą wzoru Eulera-Maclaurina.

Dalej z obu stron bierzemy granicę,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n!-n\ln n+n-\frac{\ln n}{2})=1+\sum _{k=2}^m\frac{B_k{(-1)}^k}{k(k-1)}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }R.$

Niech $y$ równa się powyższej granicy. Łącząc powyższe dwa wzory, dostajemy wzór przybliżony w postaci logarytmicznej:

$\ln n!=(n+\frac{1}{2})\ln n-n+y+\sum _{k=2}^m\frac{B_k{(-1)}^k}{k(k-1)n^{k-1}}+O\left(\frac{1}{n^m}\right),$

gdzie O(·) to notacja dużego O.

Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą, np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem $e^y.$

$n!=e^y\sqrt{n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

Nieznany wyraz $e^y$ może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy $n$ dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa. Wartością $e^y$ jest $\sqrt{2\pi }.$ Otrzymujemy wzór Stirlinga:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+O\left(\frac{1}{n}\right)).$

Wzór może być również wyprowadzony poprzez wielokrotne całkowanie przez części. Wyraz wiodący może być znaleziony poprzez metodę największego spadku.

Szybkość zbieżności i oszacowanie błędu

Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów Szablon:LinkWzór (wersja popularna) oraz Szablon:LinkWzór (wersja dokładniejsza, $\lambda =(12n{)}^{-1}$). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących.

Dokładniej,

Szablon:Wzór

przy

$\frac{1}{12n+1}<{\lambda }_n<\frac{1}{12n}.$

Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\dots ).$

Przy $n\to \mathrm{\infty },$ błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego.

Rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywane szeregiem Stirlinga:

$\ln n!=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}+\frac{1}{1260n^5}-\frac{1}{1680n^7}+\dots$

W tym przypadku błąd, wskutek pominięcia dalszych wyrazów, jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.

Wzór Stirlinga dla funkcji gamma

Porównanie aproksymacji Stirlinga z funkcją gamma

Wzór Stirlinga ma zastosowanie do przybliżonego obliczania funkcji gamma; funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie; jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest większa od zera, $\mathrm{\Re }(z)>0,$ to

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{\ln 2\pi }{2}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{arctg}\frac{t}{z}}{\exp (2\pi t)-1}dt.$

Powtarzane całkowanie przez części daje rozwinięcie asymptotyczne

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{\ln 2\pi }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}},$

gdzie $B_n$ jest $n$-tą liczbą Bernoulliego. Wzór jest poprawny dla modułu z $z,$ mianowicie $|\arg z|<\pi -\epsilon ,$ gdzie $\epsilon$ jest dodatni. Błąd przybliżenia:

$O(z^{-m-1/2})$ dla użytych $m$ wyrazów.

Zbieżna postać wzoru Stirlinga

Wyznaczenie zbieżnej postaci wzoru Stirlinga wymaga oszacowania

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\mathrm{arctg}\frac{t}{z}}{\exp (2\pi t)-1}dt=\ln \mathrm{\Gamma }(z)-(z-\frac{1}{2})\ln z+z-\frac{1}{2}\ln (2\pi ).$

Jedną z metod jest uśrednianie zbieżnych serii odwróconych rosnących eksponent. Jeśli $z^{\bar{n}}=z(z+1)\dots (z+n-1),$ wtedy

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\mathrm{arctg}\frac{t}{z}}{\exp (2\pi t)-1}dt=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{(z+1{)}^{\bar{n}}},$

gdzie:

$n{c}_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\bar{n}}(x-\frac{1}{2})dx.$

Z tego otrzymujemy następującą postać ww. wzoru

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(z-\frac{1}{2})\ln z-z+\frac{\ln 2\pi }{2}$

$+\frac{1}{12(z+1)}+\frac{1}{12(z+1)(z+2)}+\frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}+\dots ,$

który zbiega, gdy $\mathrm{\Re }(z)>0.$

Historia

Wzór został odkryty przez Abrahama de Moivre w postaci

$n!\sim c\cdot n^{n+1/2}{e}^{-n},c=\mathrm{const}.$

Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą $c$ jest $\sqrt{2\pi }.$ Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet.

Przybliżenie Stirlinga „pierwszego rzędu”, $n!=n^n,$ zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej, na przykład przez Louis de Broglie’a. Dla bardzo dużych $n$ wykres przybliżenia „pierwszego rzędu” wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej, jest prawie równoległy do linii otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła.

Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga „pierwszego rzędu”, jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych $n.$ Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności, spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga „pierwszego rzędu” i najnowszymi teoriami fizycznymi.

Zobacz też

• funkcje specjalne

Bibliografia

• Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm.
• Paris R.B., Kaminsky D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• Whittaker E.T., Watson G.N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. Szablon:ISBN.