Liczby Bernoulliego

Liczby Bernoulliego – nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako $B_k,$ gdzie $k$ jest numerem porządkowym liczby, $k=0,1,2...,$ wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: $1^{10}+2^{10}+3^{10}+...+1000^{10}$ „w pół kwadransa”.

Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez $B_k,$ a według definicji 2 – przez $B_k^{*}.$ Przy tym liczby $B_k^{*}$ stanowią podzbiór właściwy liczb $B_k.$

Liczby Bernoulliego – definicja 1

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n\cdot x^n}{n!}.$

Szereg powyższy jest zbieżny dla $|x|<2\pi .$

Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

$\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})\cdot B_k=0,$

gdzie $B_0=1.$

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego o indeksach nieparzystych większych od 2 są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od $B_0:$

$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6},0,-\frac{1}{30},0,\frac{1}{42},0,-\frac{1}{30},0,\frac{5}{66},0,-\frac{691}{2730},0,\frac{7}{6},0,-\frac{3617}{510},0,\frac{43867}{798},0,-\frac{174611}{330},\dots$

Liczby Bernoulliego – definicja 2

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

$1-\frac{x}{2}\mathrm{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{B_1^{*}\cdot x^2}{2!}+\frac{B_2^{*}\cdot x^4}{4!}+\frac{B_3^{*}\cdot x^6}{6!}+\dots$

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od $B_1^{*}:$

$\frac{1}{6},\frac{1}{30},\frac{1}{42},\frac{1}{30},\frac{5}{66},\frac{691}{2730},\frac{7}{6},\frac{3617}{510},\frac{43867}{798},\frac{174611}{330},\frac{854513}{138},\dots$

Powiązanie pomiędzy liczbami $B_n^{*}$ i $B_n$ opisuje poniższy wzór:

$B_n=\{\begin{array}{cc}1,& \text{dla }n=0\\ -\frac{1}{2},& \text{dla }n=1\\ (-1{)}^{(\frac{n}{2})-1}\cdot B_{\frac{n}{2}}^{*},& \text{dla }n\text{ parzystych}\\ 0,& \text{dla }n\text{ nieparzystych}\end{array}$

Wzór asymptotyczny

Wykorzystując wzór Stirlinga, otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

$B_n\approx (-1{)}^{n-1}\cdot 4\cdot \sqrt{\pi \cdot n}\cdot {\left(\frac{n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Twierdzenie Staudta

Każda liczba Bernoulliego $B_{\nu }$ może być przedstawiona w postaci

$B_{\nu }=C_{\nu }-\sum \frac{1}{k+1},$ gdzie

$C_{\nu }$ jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach $k$ liczby $\nu ,$ dla których $k+1$ jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego $B_6=\frac{1}{42}$ może być przedstawiona w postaci $B_6=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7},$ bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak $\mathrm{tg}x,\mathrm{ctg}x,\mathrm{tgh}x,\frac{x}{e^x-1},\ln |\sin (x)|$ i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

$\sum _{j=1}^n{j}^k=\frac{1}{k+1}\cdot [n^{k+1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{1})B_1{n}^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2})B_2{n}^{k-1}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{k})B_{k}n].$

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

$\zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2k}}=\frac{{\pi }^{2k}{2}^{2k-1}}{(2k)!}{B}_{2k}.$

W szczególności wynika stąd, że

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n^{2k}}=(-1{)}^{k+1}\frac{{\pi }^{2k}(2^{2k-1}-1)}{(2k)!}{B}_{2k}.$

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• J.H. Conway, R.K. Guy, Księga liczb, WNT, Warszawa 1999, Szablon:ISBN.
• R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, § 6.5.: Liczby Bernoulliego, PWN, Warszawa 2006, Szablon:ISBN.
• Szablon:MathWorld