Teoria liczb

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Czeski znaczek pocztowy upamiętniający wielkie twierdzenie Fermata i jego dowód przez Andrew Wilesa

Teoria liczb – dziedzina matematyki badająca własności niektórych typów liczb[uwaga 1]. Początkowo analizowała tylko liczby naturalne i wymierne, później rozszerzając zakres o inne liczby rzeczywiste, zwłaszcza algebraiczne[1]. Przynajmniej częściowo jest zaliczana do matematyki dyskretnej[2].

Jest to jedna z najstarszych dziedzin matematyki obok geometrii; obie dyscypliny od starożytności nie przestają na siebie oddziaływać. Rozwój teorii liczb miał też wpływ na inne gałęzie matematyki jak algebra[1] – w tym ogólna algebra przemienna – oraz geometria algebraiczna, analiza zespolona i probabilistykaSzablon:Odn. Kierunek zastosowań jest też odwrotny: teoria liczb sama skorzystała z osiągnięć algebry, geometrii algebraicznej i probabilistyki[1]. Niektóre z wykorzystywanych metod są zaawansowane jak np. algebra homologiczna[1] i abstrakcyjna analiza harmonicznaSzablon:Odn. Teoria liczb obfituje w problemy otwarte postawione elementarnie – tj. zrozumiałe dla laików, nawet dla dzieci – ale czekające na rozwiązanie wyjątkowo długo, czasem stulecia. Niektóre z pytań zadanych w XVIII wieku – jak hipoteza Goldbacha i hipoteza prostopadłościanu idealnego – do dzisiaj pozostają bez odpowiedzi. Teorią liczb zajmowali się matematycy zaliczani do najwybitniejszych w historii jak Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss i Bernhard Riemann; wkład w tę dziedzinę nagradzano też najwyższymi zaszczytami w matematyce jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy Medal Copleya przyznawany także innym naukowcom. Istnieją również nagrody poświęcone tej konkretnej dziedzinie – odpowiednie kategorie Nagrody Cole’a i Nagrody Fermata. Teorię liczb nazywano „królową matematyki”Szablon:Odn[3].

W II połowie XX wieku znaleziono zastosowania tej dyscypliny w kryptologii i fizyce matematycznej, zwłaszcza kwantowej teorii pola, teorii strun oraz teorii kwantowego chaosu[4]. Powstało całe czasopismo naukowe poświęcone związkom teorii liczb z fizyką[5]. Ta dziedzina matematyki wywarła też pewien wpływ na popkulturę; amatorskie badania wielkiego twierdzenia Fermata są motywem powieści młodzieżowej Szatan z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego (1937).

Podział teorii liczb

Główne działy teorii liczb toSzablon:Odn:

Elementarna teoria liczb jest jej najstarszym działem; nie stosuje się w niej metod teorii funkcji analitycznych[9], jednakże w analitycznej teorii liczb stosuje się czasem metody elementarne[9][10]. Do najważniejszych osiągnięć metod elementarnych teorii liczb należą dowody Erdősa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na lemacie Selberga)[10]. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych[11].

Według Iwańca i Kowalskiego, jako kryterium stosowane do tego, aby dane zagadnienie z teorii liczb można było zakwalifikować do analitycznej teorii liczb jest to, czy wykorzystuje się w nim analizę zespoloną. Zamienne, jako kryterium można również uznać występowanie analizy harmonicznej. Przez długi czas prace z analitycznej teorii liczb wykorzystywały jedynie abelową analizę harmoniczną (dot. grup przemiennych). Współcześnie częściej wykorzystuje się również funkcje automorficzne. Nowe metody wywodzą się m.in. z analizy spektralnej i wyników Maassa czy Selberga[9].

Geometryczna teoria liczb korzysta z geometrii do badania liczb algebraicznych. Pierścień algebraicznych liczb całkowitych utożsamia się ze zbiorem punktów kratowych w ℝn[12]. Pierwsze prace z tej dziedziny zostały napisane przez Hermanna Minkowskiego[13].

Probabilistyczna teoria liczb korzysta z metod probabilistycznych do analizy zagadnień teorii liczb[14]. W szczególności, jest to np. centralne twierdzenie graniczne[15]. Przykładowo, Soundararajan i Radziwiłł korzystają z niego dla badania wartości logarytmu zespolonego funkcji zeta na linii krytycznej 12[16].

Kombinatoryczna teoria liczb korzysta w swoich badaniach z wyników teorii liczb, kombinatoryki, analizy harmonicznej i teorii ergodycznej. Przykładowo, twierdzenie Greena-Tao wykorzystuje twierdzenie Szemerédiego zmodyfikowane dla liczb pierwszych[17][18].

Niektórych gałęzi teorii liczb nie można jednoznacznie zaklasyfikować do danego działu, metody mogą się między nimi przeplatać. Przykładem może być teoria sit, która korzysta przede wszystkim z twierdzeń elementarnych, ale bywa nazywana poddziedziną analitycznej teorii liczb, ponieważ korzysta z części jej wyników. Dodatkowo, w ostatnich pracach naukowych metody sit bywają często przeplatane z metodami analitycznej teorii liczb lub innych dziedzin[19].

Historia

Starożytność i średniowiecze

Gliniana tabliczka zapisana pismem klinowym, być może powiązana z trójkami pitagorejskimi

Początki teorii liczb sięgają starożytności; przykładowo starożytni mieszkańcy Mezopotamii oraz Egiptu mogli rozważać problem trójek pitagorejskichSzablon:Fakt. Największe postępy w tej dziedzinie zrobiła jednak kultura starogrecka. Odnotowano serię postępów na przestrzeni niecałego tysiąclecia, od okresu klasycznego do czasów cesarskiego panowania rzymskiego:

Teorią liczb mógł się zajmować także Archimedes, ale raczej marginesowo; Szablon:Fakt.

Równolegle rozwijano matematykę w Indiach, w sposób komplementarny do tego greckiego i znaczący dla teorii liczb. Systemy pozycyjne uprościły wiele obliczeń i pozwoliły na sformułowanie cech podzielności liczb całkowitych. Matematycy chińscy rozważali za to układy kongruencji, na temat których udowodnili chińskie twierdzenie o resztach. Uczeni arabscy mieli w tę dziedzinę ograniczony wkład – w matematyce skupili się na trygonometrii i algebrzeSzablon:Odn, choć ta druga dziedzina później wpłynęła na rozwój teorii liczb.

W XIII-wiecznych Włoszech kupiec Leonardo Fibonacci podał jedną z metod generowania trójek pitagorejskich, a oprócz tego opisał ciąg Fibonacciego, również istotny z punktu widzenia teorii liczb. Problem nieskończoności liczb pierwszych w tym ciągu w lutym 2022 pozostaje otwarty.

XVII wiek

Wykres przykładowego równania Pella; zaznaczono również jego podstawowe rozwiązania

XVII wiek to umowny początek nowożytnej teorii liczb i jej statusu samodzielnej naukiSzablon:Odn. Rozwijał ją wtedy Pierre de Fermat i miał w tej dziedzinie co najmniej pięć znaczących osiągnięć:

W tym samym stuleciu:

XVII wiek to także narodziny nowych dziedzin matematyki, które okazały się istotne dla teorii liczb:

XVIII wiek

Wykres ilustrujący stałą Eulera-Mascheroniego (γ) – równą polu niebieskiego obszaru

W XVIII wieku Leonhard Euler – jak wspomniano wyżej – obalił hipotezę Fermata o liczbach nazwanych jego nazwiskiemSzablon:Odn. Oprócz tego Euler:

Postępy poczynili też inni matematycy:

XIX wiek

Siedmiokąt foremny. Z twierdzenia Gaussa-Wantzela oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się skonstruować klasycznie. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych liczb Fermata (3, 5, 17...)

XIX wiek to narodziny nowych gałęzi w teorii liczb:

Rozwinięto też „klasyczne” badania liczb naturalnych:

Ogłoszone na koniec stulecia 23 problemy Hilberta zawierały kilka pytań z teorii liczb jak hipotezy Riemanna i Golbacha.

XX wiek

Graf skierowany przedstawiający zachowanie funkcji Collatza dla niektórych nieparzystych argumentów

Postęp w teorii liczb naturalnych był wieloraki – rozwiązano niektóre stare problemy oraz postawiono nowe:

Naświetlono również same fundamenty arytmetyki liczb naturalnych. Kurt Gödel w swoim pierwszym twierdzeniu o niezupełności wykazał, że nie może ona być jednocześnie zupełna i niesprzeczna. Wśród nowo poznanych liczb pierwszych znalazły się osobliwości jak liczba Belfegora. Nie dość, że w zapisie dziesiętnym jest palindromem, to jeszcze zawiera w nim liczbę bestii (666), a liczba zer po obu stronach tego symbolu wynosi 13 – także oznakę nieszczęść.

Posunięto też badania nad niewymiernością i przestępnością:

Wiek XX przyniósł też zastosowania dla teorii liczb – w latach 70. rozbudowano kryptografię klucza publicznego, w tym szyfr RSA; opisano także pierwsze związki teorii liczb z fizyką.

Stulecie zwieńczono ogłoszeniem listy siedmiu problemów millenijnych. Co najmniej dwa z nich mają bezpośredni związek z teorią liczb – jak hipoteza Riemanna.

XXI wiek

Przykładowe cegiełki Eulera; nie wiadomo, czy wśród figur tego typu znajduje się prostopadłościan idealny (stan na luty 2022)

Nowe tysiąclecie przyniosło między innymi:

Ogłoszono też pewne sukcesy, które w lutym 2022 dalej czekają na pełną weryfikację, choć są aktywnie badane przez społeczność akademicką:

W 2018 roku Michael Atiyah ogłosił, że udało mu się udowodnić hipotezę Riemanna i zaprezentował swoją próbę dowodu. Została ona odrzucona przez matematyków jako błędna. Wiele innych problemów teorii liczb – także postawionych elementarnie – w lutym 2022 pozostaje nierozwiązanych. Niektóre z nich to:

Szablon:Związana kategoria

Teoria liczb w Polsce

Przykładowa ilustracja spirali Ulama – na niebiesko zaznaczono liczby pierwsze

Szablon:Związana kategoria

Wśród matematyków polskich znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi:

Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław WróblewskiSzablon:Fakt. Teorii liczb jest poświęcone polskie czasopismo „Acta Arithmetica”, założone w latach 30. XX w., później wydawane przez Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (IM PAN).

Z polską narodowością i nauką polską bywa też wiązany Franz Mertens – pracownik m.in. Uniwersytetu Jagiellońskiego, zajmujący się analityczną teorią liczb. Jego hipoteza Mertensa, implikująca hipotezę Riemanna, okazała się jednak fałszywa – obalono ją w latach 80. XX w.Szablon:Fakt.

Ludzie

Szablon:Grafika rozwinięta Szablon:Związana kategoria

Do znaczących naukowców w tej dziedzinie należą[1]: Szablon:Układ wielokolumnowy

Uwagi

Szablon:Uwagi

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:Teoria liczb Szablon:Działy arytmetyki Szablon:Działy matematyki dyskretnej Szablon:Działy matematyki

Szablon:Kontrola autorytatywna


Błąd rozszerzenia cite: Istnieje znacznik <ref> dla grupy o nazwie „uwaga”, ale nie odnaleziono odpowiedniego znacznika <references group="uwaga"/>

  1. ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 Szablon:Encyklopedia PWN
  2. ↑ Szablon:MathWorld [dostęp 2022-02-15].
  3. ↑ Szablon:Pismo Delta
  4. ↑ Szablon:Otwarty dostęp Piotr Sułkowski, Fizyka i teoria liczb, 3 września 2016 [dostęp 2022-02-15].
  5. ↑ Szablon:Otwarty dostęp Communications in Number Theory and Physics Szablon:Lang, intlpress.com [dostęp 2022-02-15].
  6. ↑ Szablon:Cytuj
  7. ↑ Szablon:Cytuj
  8. ↑ Szablon:Cytuj
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 Szablon:Cytuj
  10. ↑ 10,0 10,1 Szablon:Cytuj
  11. ↑ Szablon:Cytuj
  12. ↑ Szablon:Cytuj
  13. ↑ Szablon:Cytuj
  14. ↑ Szablon:Cytuj
  15. ↑ Szablon:Cytuj
  16. ↑ Szablon:Cytuj
  17. ↑ Szablon:Cytuj
  18. ↑ Szablon:Cytuj
  19. ↑ Szablon:Cytuj
  20. ↑ Szablon:Pismo Delta
Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Teoria_liczb&oldid=263”