Postulat Bertranda

Joseph Louis François Bertrand

Postulat Bertranda (twierdzenie Czebyszewa, twierdzenie Bertranda-Czebyszewa) – twierdzenie w teorii liczb.

Twierdzenie

Dla każdej liczby naturalnej $n\in N$ większej lub równej $1$ istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza większa od $n$ i mniejsza lub równa $2n.$

${\mathrm{\forall }}_{n⩾1}\pi (2n)>\pi (n)$

lub

${\mathrm{\forall }}_{n⩾1}{\mathrm{\exists }}_{p\in \mathbb{P}}2n⩾p>n.$

Własności

Udowodniono również, że

${\mathrm{\forall }}_{n>5}\pi (2n)-\pi (n)⩾2,$

${\mathrm{\forall }}_{n>8}\pi (2n)-\pi (n)⩾3,$

${\mathrm{\forall }}_{n>14}\pi (2n)-\pi (n)⩾4,$

${\mathrm{\forall }}_{n>20}\pi (2n)-\pi (n)⩾5.$

Dla dowolnej liczby po prawej stronie nierówności istnieje „odpowiednia wartość”, którą można wpisać pod kwantyfikatorem.

Postulat Bertranda

Pafnutij Czebyszew

W 1845 roku Joseph Bertrand sformułował hipotezę, tzw. postulat Bertranda, że jeśli $n>3$ jest liczbą całkowitą, to istnieje liczba pierwsza $p$ taka, że $n<p<2n-2$. Powyższe twierdzenie jest słabszą wersją tej hipotezy.

Bertrand sprawdził swój postulat dla wszystkich liczb całkowitych z przedziału $[2,3\cdot 10^6].$ W 1850 roku prawdziwości postulatu dowiódł Pafnutij Czebyszew.

Zobacz też

• funkcja π
• liczby pierwsze Ramanujana