Funkcja licząca liczby pierwsze

Przebieg funkcji π(n) dla pierwszych sześćdziesięciu liczb naturalnych

Funkcja π – funkcja używana w teorii liczb.

Dla danej liczby rzeczywistej $x,$ wartość $\pi (x)$ jest liczbą liczb pierwszych nie większych od $x$.

Funkcja ta jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, choć zwykle bada się jej zachowanie tylko dla liczb naturalnych.

Właściwości

Niektóre z nierówności dotyczących funkcji $\pi$ to:

• $\pi (x)>\frac{x}{\ln x}$ dla $x⩾17.$

Już pod koniec XVIII wieku Carl Friedrich Gauss oraz Adrien-Marie Legendre przypuszczali, iż $\frac{x}{\ln (x)}$ jest przybliżeniem wartości funkcji

• $\pi (x)<1,25506\frac{x}{\ln x}$ dla $x>1,$
• $\frac{x}{\ln x+2}<\pi (x)<\frac{x}{\ln x-4}$ dla $x⩾55.$

Ponadto:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1,$
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\pi (x)/\mathrm{li}(x)=1,$

gdzie $\mathrm{li}$ jest logarytmem całkowym.

Funkcja f(x) Riemanna

Bernhard Riemann w swojej pracy zdefiniował funkcję $f(x):ℝ\to ℝ$ w postaci:

$f(x)=\sum _{n=1}^{\alpha }\frac{1}{n}\pi \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi \left(x^{\frac{1}{2}}\right)+\frac{1}{3}\pi \left(x^{\frac{1}{3}}\right)+\dots +\frac{1}{\alpha }\pi \left(x^{\frac{1}{\alpha }}\right),$

gdzie składnikami sumy jest funkcja liczby liczb pierwszych, natomiast $\alpha =\lfloor {\log }_2(x)\rfloor .$ Zauważmy, że tak zdefiniowana funkcja ma tą samą własność co funkcja $\pi (x).$ Jej wartość rośnie o jeden, kiedy argument jest liczbą pierwszą.

Następnie w dalszej części pracy wyprowadza jawną postać funkcji $f(x),$ składającej się z kilku członów.

$f(x)=Li(x)-\sum _{\nu }(Li\left(x^{\frac{1}{2}+{\sigma }_{\nu }i}\right)+Li\left(x^{\frac{1}{2}-{\sigma }_{\nu }i}\right))+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^2-1}\frac{dt}{t\ln t}+\ln (\zeta (0)).$

Pierwszy z nich to logarytm całkowy, drugi to suma po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna $\zeta (z),$ dla których spełniona jest zależność:

$\zeta (\frac{1}{2}\pm {\sigma }_{\nu }i)=0,$ ${\sigma }_{\nu }=\{14,1347,21,0220,25,0108,\dots \},$

przy czym sumuje się zera zarówno leżące nad osią liczb rzeczywistych, jak i pod nią. Warto zauważyć, że ze względu na symetryczne ułożenie zer „dodatnich” i „ujemnych” na osi $x=\frac{1}{2}$ w wyniku sumowania otrzymuje się liczbę rzeczywistą, ponieważ część urojona sumy ${\mathrm{\Sigma }}_{\nu }$ znosi się wzajemnie.

Trzeci składnik to całka, która szybko dąży do zera wraz z rosnącymi wartościami $x.$ Przykładowe wartości całki umieszczono w tabeli poniżej.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$\int$	$\mathrm{\infty }$	$0,140$	$0,040$	$0,018$	$0,010$	$0,001$	$9,875\cdot 10^{-6}$	$6,777\cdot 10^{-8}$	$5,162\cdot 10^{-10}$

Ostatni składnik to stała równa $\ln (\zeta (0))=-\ln (2).$

Definicja funkcji liczby liczb pierwszych π(x) za pomocą f(x)

Kolejne przybliżenia funkcji $\pi (x)$ (zaznaczonej na czerwono) z uwzględnieniem coraz większej ilości nietrywialnych zer (niebieski kolor).

Korzystając z transformacji Möbiusa, można przedstawić $\pi (x)$ za pomocą funkcji $f(x)$ Riemanna:

$\pi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}f\left(x^{\frac{1}{n}}\right),$

gdzie $\mu (n)$ jest funkcją Möbiusa. Im więcej zer weźmie się pod uwagę w sumowaniu, tym dokładniejsze uzyska się przybliżenie funkcji liczącej liczby pierwsze.

Funkcja π Riemanna

Czasami do obliczeń używa się przybliżenia w postaci $f(x)=Li(x),$ wtedy taką funkcję nazywa się funkcją $\mathrm{\Pi }(x)$ Riemanna:

$\mathrm{\Pi }(x)\approx \pi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}Li\left(x^{\frac{1}{n}}\right).$

Zobacz też

• funkcja φ