Funkcja Möbiusa

Wykres wartości funkcji Möbiusa dla $n<50$

Funkcja Möbiusa, funkcja $\mu$ – funkcja arytmetyczna określona przez Augusta Ferdynanda Möbiusa w 1831 roku i zdefiniowana w następujący sposób:

• $\mu (1)=1,$
• $\mu (n)=0,$ jeśli liczba $n$ jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej (jest kwadratowa),
• $\mu (n)=(-1{)}^k,$ jeśli liczba $n$ jest iloczynem $k$ parami różnych liczb pierwszych (jest bezkwadratowa).

Funkcja $\mu$ wykorzystywana jest często w elementarniej i analitycznej teorii liczb. Występuje w twierdzeniu Möbiusa o odwracaniu.

Wartości

Wartości funkcji Möbiusa dla małych $n$ (ciąg A008683 w OEIS):

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$\mu (n)$	$1$	$-1$	$-1$	$0$	$-1$	$1$	$-1$	$0$	$0$	$1$	$-1$	$0$	$-1$	$1$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$-1$	$0$

Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:

$\mu (n)=-1$ (A030059 w OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,...
$\mu (n)=0$ (A013929 w OEIS)	4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,...
$\mu (n)=1$ (A030229 w OEIS)	1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,...

Własności

Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną, co oznacza, że

$\mu (a)\cdot \mu (b)=\mu (ab),$

jeśli $a$ i $b$ są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.

Dla dowolnej liczby całkowitej $n$ zachodzi

$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ gdy }n=1\\ 0& \text{ gdy }n>1,\end{array}$

gdzie $\sum _{d|n}$ oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby $n.$ Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.

Funkcja zeta Riemanna

Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej $s$ o części rzeczywistej $\mathrm{\Re }(s)>1$ zachodzi równość

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}.$

Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,

$\zeta (s)=\prod _p{(1-\frac{1}{p^s})}^{-1}$

zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.

Ponadto

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n{)}^2}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}.$

Szeregi

Funkcja $\mu$ występuje w następujących szeregach zbieżnych:

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}=0,$ co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych,
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)\log n}{n}=-1,$ gdzie $\log$ to logarytm naturalny,
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)(\log n{)}^2}{n}=-2\gamma ,$ gdzie $\gamma$ jest stałą Eulera-Masheroniego.

Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)q^n}{1-q^n}=q,$

który jest zbieżny dla $|q|<1.$ Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej $p⩾2$ zachodzi

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (pn)q^n}{q^n-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{p^n}$

również dla $|q|<1.$

Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Spójrzmy na ciąg ułamków

$\frac{1}{42},\frac{2}{42},\frac{3}{42},\dots ,\frac{39}{42},\frac{40}{42},\frac{41}{42}.$

Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:

$\frac{1}{42},\frac{5}{42},\frac{11}{42},\dots ,\frac{31}{42},\frac{37}{42},\frac{41}{42}.$

Utwórzmy sumę:

$\cos (2\pi \cdot \frac{1}{42})+\cos (2\pi \cdot \frac{5}{42})+\dots +\cos (2\pi \cdot \frac{37}{42})+\cos (2\pi \cdot \frac{41}{42}).$

Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie

$\sum _{1⩽x<n,\mathrm{NWD}(x,n)=1}\cos (2\pi \cdot \frac{x}{n})=\mu (n).$

Funkcja Mertensa

Szablon:Osobny artykuł W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa

$M(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n).$

Zależność $M(x)=o(x)$ jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych, a $M(x)=O\left(x^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$ – z hipotezą Riemanna.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld