Wzór Möbiusa

Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji $\mu$.

Postać wzoru

Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne $f$ i $g.$ Następujące relacje są sobie równoważne:

$g(n)=\sum _{d|n}f(d)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right),$

gdzie $\mu (d)$ jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że $g=f*1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f=\mu *g$.

Dowód. Przez $1(n)$ oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność $f=g*1.$ Wiedząc, że funkcja $u$ jest odwrotna do funkcji $\mu$ względem splotu Dirichleta możemy zapisać $f*\mu =g*1*\mu =g,$ lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód.

Postać multiplikatywna

Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych $\tilde{f},$ $\tilde{g}$ i przyjmując $f(n)=\exp (\tilde{f}(n))$ i $g(n)=\exp (\tilde{g}(n)),$ twierdzenie możemy zapisać następująco.

Dla danych funkcji arytmetycznych $f$ i $g,$ zachodzi równość

$g(n)=\prod _{d|n}f(d)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$f(n)=\prod _{d|n}g{\left(\frac{n}{d}\right)}^{\mu (d)}.$

Uogólnione odwracanie Möbiusa

Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.

TwierdzenieSzablon:Odn. Niech $F,G$ będą funkcjami określonymi na zbiorze $(0,\mathrm{\infty })$ przyjmującymi wartości rzeczywiste lub zespolone, przy czym $F(x)=G(x)=0$ dla $0<x<1.$ Ponadto, niech $\alpha$ będzie funkcją arytmetyczną o odwrotności względem splotu ${\alpha }^{-1}.$ Wówczas

$G(x)=\sum _{n⩽x}\alpha (n)F\left(\frac{x}{n}\right)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$F(x)=\sum _{n⩽x}{\alpha }^{-1}(n)G\left(\frac{x}{n}\right).$

W szczególności, jeśli $\alpha$ jest całkowicie multiplikatywna, to ${\alpha }^{-1}(n)=\mu (n)\alpha (n)$ i wówczas

$G(x)=\sum _{n⩽x}\alpha (n)F\left(\frac{x}{n}\right)$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$F(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)\alpha (n)G\left(\frac{x}{n}\right).$

Zapis $\sum _{n⩽x}$ oznacza tutaj sumę po wszystkich liczbach $n$ całkowitych dodatnich mniejszych lub równych danej liczbie rzeczywistej $x.$

Dowód. Oznaczając przez $\alpha \circ F$ funkcję

$(\alpha \circ F)(x)=\sum _{n⩽x}\alpha (n)F\left(\frac{x}{n}\right),$

możemy wykazać, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych $\alpha$ i $\beta$ oraz funkcji $F$ zdefiniowanej na $(0,\mathrm{\infty })$ zachodzi łączność działania $\circ ,$ tzn.

$\alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha *\beta )\circ F.$

Dla $x>0$ mamy

$\alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{n⩽x}\alpha (n)\sum _{m⩽\frac{x}{n}}\beta (m)F\left(\frac{x}{mn}\right)=\sum _{mn⩽x}\alpha (n)\beta (m)F\left(\frac{x}{mn}\right)=\sum _{k⩽x}(\sum _{n|k}\alpha (n)\beta \left(\frac{k}{n}\right))F\left(\frac{x}{k}\right).$

Występująca suma po składnikach $\alpha (n)\beta (k/n)$ to w istocie splot Dirichleta $(\alpha *\beta )(k),$ więc równość zachodzi. Stąd, jeśli $G=\alpha \circ F,$ to

${\alpha }^{-1}\circ G={\alpha }^{-1}\circ (\alpha \circ F)=({\alpha }^{-1}*\alpha )\circ F=ϵ\circ F=F,$

gdzie $ϵ(1)=1$ i $ϵ(n)=0$ dla $n>1.$

Przykłady

Tocjent Eulera

Szablon:Osobny artykuł Niech $\phi$ będzie tocjentem, tzn. dla dowolnej liczby całkowitej $n⩾1$ niech $\phi (n)$ oznacza liczbę liczb całkowitych $1⩽k⩽n$ względnie pierwszych z $n.$ Znane twierdzenie Eulera mówi, że

$n=\sum _{d|n}\phi (d).$

Twierdzenie Möbiusa mówi, że jest to równoważne relacji

$\phi (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\frac{n}{d}=n\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}.$

Tę tożsamość możemy wykorzystać chociażby, aby uzasadnić, że średni rząd funkcji $\phi (n)$ wynosi $\frac{3}{{\pi }^2}n.$ Mamy

$\sum _{n⩽x}\phi (n)=\sum _{n⩽x}\sum _{d|n}\mu (d)\frac{n}{d}=\sum _{qd⩽x}\mu (d)q=\sum _{d⩽x}\mu (d)\sum _{q⩽x/d}q=\sum _{d⩽x}\mu (d)(\frac{x^2}{2d}+O\left(\frac{x}{d}\right))=\frac{1}{2}{x}^2\sum _{d⩽x}\frac{\mu (d)}{d^2}+O\left(x\sum _{d⩽x}\frac{1}{d}\right).$

Suma $\sum \mu (d)/d^2$ przy $x\to \mathrm{\infty }$ dąży do wartości odwrotności funkcji zeta, $\zeta (2{)}^{-1}=\frac{6}{{\pi }^2}.$ Suma w błędzie szacowania jest sumą częściową szeregu harmonicznego, więc jest rzędu logarytmu naturalnego. Dlatego

$\sum _{n⩽x}\phi (n)=\frac{3}{{\pi }^2}{x}^2+O(x\log x).$

Stąd wynika już wprost, żeSzablon:Odn

$\sum _{n⩽x}\phi (n)\sim \frac{3}{{\pi }^2}\sum _{n⩽x}n.$

Zobacz też

• funkcja Möbiusa
• splot Dirichleta