Szereg harmoniczny

Szablon:Inne znaczenia Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących:

$\mathrm{H}(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1})=\frac{2}{{\left(\frac{1}{n-1}\right)}^{-1}+{\left(\frac{1}{n+1}\right)}^{-1}}=\frac{2}{(n-1)+(n+1)}=\frac{1}{n}.$

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończonościSzablon:Odn

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\mathrm{\infty }.$

Dowód Mikołaja z Oresme

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

$1+\left(\frac{1}{2}\right)+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\dots +\underset{2^n\text{składników}}{\underbrace{(\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots +\frac{1}{2^{n+1}})}}+\dots$

Ponieważ

$\frac{1}{2}⩾\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$

i ogólnie

$\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+\dots +\frac{1}{2^{n+1}}>\underset{2^n\text{identycznych składników}}{\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+\dots +\frac{1}{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2},$

więc

$H_{2^n}⩾1+\frac{1}{2}n.$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_i$ jest rozbieżny do $\mathrm{\infty }$Szablon:Odn.

Dowód Pietra Mengolego

W 1650 w pracy Szablon:J dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli.

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

$1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10})+\dots +(\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1})+\dots$

Ponieważ

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1$

$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}>\frac{1}{2}$

$\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}>\frac{1}{3}$

i ogólnie

$\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}=\frac{27k^2-1}{3k(9k^2-1)}=\frac{1}{k}+\frac{2}{3k(9k^2-1)}>\frac{1}{k},$

więc

$H_{3k+1}>1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}=1+H_k,$

co w efekcie daje

$H_{3k+1}-H_k>1.$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych $H_i$ nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya

Bradley podał w roku 2000 następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby $x>-1$ spełniona jest nierówność

$x⩾\ln (x+1),$

a stąd

$\frac{1}{k}⩾\ln (1+\frac{1}{k})=\ln \left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k.$

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

$\begin{array}{cc}{H}_n& =\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}⩾\sum _{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1).\end{array}$

Ponieważ

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (n+1)=\mathrm{\infty },$

zachodzi

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n=\mathrm{\infty }.$

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych $(H_n)$ jest rozbieżny do $\mathrm{\infty },$ ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln (n))=\gamma ,$

gdzie $\gamma$ = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby $H_n$ jest dane wzorem

$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).$

Niektóre uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{an+b}$

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach $a\ne 0,b\in ℝ,an+b\ne 0.$

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n},$

gdzie $p_n$ jest $n$-tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{4^{\alpha }}+\dots$

Szereg ten jest zbieżny dla $\alpha >1$Szablon:Odn i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by $\alpha$ przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie $\alpha ,$ dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta $\zeta$ Riemanna:

$\zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}.$

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2.$

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{ϵ}_n\frac{1}{n},$

gdzie ${ϵ}_n$ to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe $\frac{1}{n^2},$ co jest szeregiem zbieżnym.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Sławny dowód rozbieżności szeregu harmonicznego, kanał Khan Academy na YouTube, 13 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].