Średnia harmoniczna

Geometryczny dowód bez słów, że max (a, b) > średnia kwadratowa lub średnia kwadratowa > średnia arytmetyczna > średnia geometryczna > średnia harmoniczna > min (a, b) dwóch różnych liczb dodatnich a i b.

Średnią harmoniczną $n$ liczb dodatnich $a_1,a_2,\dots ,a_n$ nazywamy liczbę:

$H:=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}.$

Istnieje również wariant zwany ważoną średnią harmoniczną.

Na przykład średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest:

$H=\frac{4}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}=\frac{140}{47}\approx 2,98.$

Średnia harmoniczna jest średnią potęgową rzędu –1.

Obliczanie prędkości średniej

Za pomocą średniej harmonicznej można obliczyć prędkość średnią. Załóżmy, że trasa składa się z $n$ równych odcinków i znamy prędkość średnią na każdym z nich: $v_1,v_2,\dots ,v_n.$

Wówczas prędkość średnia na całej trasie dana jest wzorem:

$v_{avg}=\frac{n}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}+\dots +\frac{1}{v_n}}.$

Zobacz też

• nierówności między średnimi
• nierówność między średnimi potęgowymi