Średnia potęgowa

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) $n$ liczb $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℝ_{⩾ 0}$ nazywamy liczbę^[1]:

μ_{k} : = \sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + \dots + a_{n}^{k}}{n}} .

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla $k = - \infty,$ $k = 0$ oraz $k = + \infty$ w sposób następujący^[1]:

$μ_{- \infty} : = \min (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}),$
$μ_{0} : = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}},$
$μ_{+ \infty} : = \max (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) .$

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

μ_{3} = \sqrt[3]{\frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3}}{5}} = \sqrt[3]{\frac{225}{5}} = \sqrt[3]{45} \approx 3, 56 .

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ tak zdefiniowana funkcja $μ_{k}$ zmiennej $k$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze $ℝ \cup {- \infty, + \infty},$ jeśli zaś dla jakichkolwiek $i$ i $j,$ zachodzi $a_{i} \neq a_{j},$ jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).