Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach

Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach – twierdzenie teorii prawdopodobieństwa dotyczące zbieżności szeregów niezależnych zmiennych losowych. Jest to warunek konieczny i dostateczny zbieżności. Twierdzenie to było opublikowane w 1925 w pracy autorstwa Andrieja Kołmogorowa i Aleksandra Chinczyna.

Twierdzenie

Niech $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych.

Szereg $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ jest zbieżny prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $c\in ℝ,c>0$ takie, że poniższe trzy szeregi są zbieżne:

1. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{P}(|X_n|>c)$
2. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Var}(X_n^{(c)})$
3. $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{E}(X_n^{(c)}),$

gdzie $X_n^{(c)}=\{\begin{array}{cc}{X}_n,& \text{ gdy }|X_n|⩽c\\ 0,& \text{ gdy }|X_n|>c\end{array}.$

Ponadto, jeżeli szereg $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ jest zbieżny prawie wszędzie, to szeregi 1.,2.,3. są zbieżne dla każdego $c>0.$ Zatem zbieżność szeregów 1.,2.,3. dla pewnego $c>0$ implikuje ich zbieżność dla wszystkich $c>0.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę