Stała Eulera

Szablon:Nie mylić z Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,5772156649.

Historia notacji

Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak $\gamma$ nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał symbolu γ w 1835 roku.

Definicja

Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}-\ln (n+1))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n+1))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln (n+1)),$

gdzie $H_n$ oznacza odpowiednią liczbę harmoniczną.

Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcji ζ Riemanna:

$\gamma =\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(\zeta (x)-\frac{1}{x-1})$

lub za pomocą następującej całki:

$\gamma =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{e^t}\text{d}t.$

Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.

Własności

Średnia wartość części ułamkowych z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do wartości $1-\gamma$ przy wzroście N.

Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:

$e^{\gamma }=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt[k]{e}}{1+\frac{1}{k}}\approx 1,78107\dots$

Do dzisiaj (stan na rok 2024) wymierność tej stałej nie została udowodniona ani podważona, lecz wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10²⁴²⁰⁸⁰ cyfr.

Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05…

Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:

$\frac{1}{24(n+1{)}^2}<\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\right)-\ln (n+\frac{1}{2})-\gamma <\frac{1}{24n^2}.$

Związki

Stała Eulera występuje m.in. w:

• wyrażeniach związanych z całkami funkcji wykładniczych,
• transformacjach Laplace’a logarytmu naturalnego.

Zobacz też

• lista stałych matematycznych