Podłoga i sufit

Wykres funkcji podłoga

Wykres funkcji sufit

Podłoga i sufit (Szablon:Ang.) – funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Definicja formalna

Podłoga, część całkowita, cecha lub entier liczby rzeczywistej $x,$ oznaczana $\lfloor x\rfloor ,$ $[x],$ $\text{E}(x)$ lub $\text{Ent}(x)$ to największa liczba całkowita nie większa od $x$. Symbolicznie:

$\lfloor x\rfloor =\max \{k\in \mathbb{Z}:k⩽x\}$

Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej $x$ to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od $x.$ Liczbę tę oznaczamy symbolem $\lceil x\rceil .$ Symbolicznie:

$\lceil x\rceil =\min \{k\in \mathbb{Z}:k⩾x\}$

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej $x$ nazywa się liczbę $x-\lfloor x\rfloor .$ Oznacza się ją $\{x\}$ (nie należy mylić z identycznie zapisywanym zbiorem jednoelementowym)

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor .$

W informatyce pojęcia cechy i mantysy są rozumiane inaczej, zob. Notacja naukowa i Liczba zmiennoprzecinkowa.

Przykłady

$\lfloor 2,9\rfloor =2,\lfloor -2\rfloor =-2,\lfloor -2,1\rfloor =-3.$

$\lceil 0\rceil =0,\lceil 0,3\rceil =1,\lceil -0,8\rceil =0,\lceil -3,4\rceil =-3.$

$\{2,567\}=0,567,\{-4,23\}=-4,23-(-5)=0,77.$

Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], $\text{Ent},\text{E}$ dla cechy i {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Kennetha E. Iversona, który zaproponował oznaczenie $\lfloor \cdot \rfloor$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego $\lceil \cdot \rceil .$ Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit).

Własności

Podłoga i sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

$\lfloor x\rfloor ⩽x<\lfloor x\rfloor +1$

$\lceil x\rceil -1<x⩽\lceil x\rceil$

Ponadto

$\lfloor x\rfloor ⩽x⩽\lceil x\rceil$

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

$\lceil x\rceil =\lfloor x\rfloor +1$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

$x⩽y⟹\lfloor x\rfloor ⩽\lfloor y\rfloor ,$

$x⩽y⟹\lceil x\rceil ⩽\lceil y\rceil .$

Ponadto:

• $\lfloor x+y\rfloor ⩾\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor ,$
• $\lfloor k+x\rfloor =k+\lfloor x\rfloor$ dla dowolnego $k\in \mathbb{Z}.$

Część ułamkowa

Wykres mantysy

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału $[0;1),$ tzn.

$0⩽\{x\}<1$

dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako $x\text{mod}1,$ gdzie $\text{mod}$ jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $t_0=1.$

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(\{ka\})=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(t)dt$

o ile funkcja $f$ jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha i mantysa logarytmu

Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

• Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
• Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku „–” (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału $[0,1).$

Przykłady

Mantysa logarytmów liczb postaci $10^n$ (gdzie $n$ jest całkowite) wynosi $0,$ np.:

$\begin{array}{ccc}\lg 0,000001& =& \bar{6},000000\\ \lg 0,00001& =& \bar{5},000000\\ \lg 0,0001& =& \bar{4},000000\\ \lg 0,001& =& \bar{3},000000\\ \lg 0,01& =& \bar{2},000000\\ \lg 0,1& =& \bar{1},000000\\ \lg 1& =& 0,000000\\ \lg 10& =& 1,000000\\ \lg 100& =& 2,000000\\ \lg 1000& =& 3,000000\\ \lg 10000& =& 4,000000\\ \lg 100000& =& 5,000000\\ \lg 1000000& =& 6,000000\end{array}$

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

$\begin{array}{ccc}\lg 0,004028& =& \bar{3},605089\dots \\ \lg 0,04028& =& \bar{2},605089\dots \\ \lg 0,4028& =& \bar{1},605089\dots \\ \lg 4,028& =& 0,605089\dots \\ \lg 40,28& =& 1,605089\dots \\ \lg 4028& =& 3,605089\dots \\ \lg 4028000& =& 6,605089\dots \end{array}$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Integral part Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Floor function Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].