Dziesiętny system liczbowy

wartość cyfr w dziesiętnym systemie liczbowym

Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny, system arabski) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 10; do zapisu liczb stosuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby 10. Niekiedy dla poprawy czytelności cyfry grupuje się po trzy (Okcydent) lub cztery (część Orientu). Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny.

Przykładowo zapis „645,7” z separatorem dziesiętnym w postaci przecinka oznacza

$6\cdot 10^2+4\cdot 10^1+5\cdot 10^0+7\cdot 10^{-1}=600+40+5+0,7=645,7.$

Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Pierwotnie pochodzi on z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowany był równolegle obok systemu rzymskiego w nauce, księgowości oraz tworzącej się w tych czasach bankowości. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom (głównie wygoda w obliczeniach arytmetycznych) system arabski niemal zupełnie wyparł system rzymski.

Zmiana systemów

Aby przeliczyć liczbę z systemu dziesiątkowego na inny, należy wykonać dzielenie z resztą liczby przez podstawę systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielony jest przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku równego zeru; liczba zapisana w innym systemie ma postać ciągu otrzymanych reszt z dzielenia zapisana od końca. Przykładowo

$\begin{array}{cc}132/8& =16\text{ reszty }4,\\ 16/8& =2\text{ reszty }0,\\ 2/8& =0\text{ reszty }2,\end{array}$

skąd

$132_{(10)}=204_{(8)}.$

Aby przeliczyć liczbę z danego systemu liczbowego na dziesiętny, należy zapisać ją w postaci sumy liczb, z których każda jest iloczynem kolejnej cyfry, przez kolejną potęgę podstawy systemu. Na przykład:

$204_{(8)}=2\cdot 8^2+0\cdot 8^1+4\cdot 8^0=2\cdot 64+0\cdot 8+4\cdot 1=128+0+4=132_{(10)}$

Zobacz też

• system liczbowy
• inne popularne systemy: dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy

• liczebniki główne potęg tysiąca (długa i krótka skala)