Funkcja Mertensa

Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000

Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:

$M(n)=\sum _{1⩽k⩽n}\mu (k),$

gdzie $\mu (k)$ jest funkcją Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej $k$ zachodzi $\mu (k)⩽1,$ zatem $M(n)⩽n$.

Przypuszczenie Mertensa

Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego $n$

$|M(n)|<\sqrt{n}$.

Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna. Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna. Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między $10^{16}$ a $e^{3.21\times 10^{64}}$. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego $ϵ>0$ poniższego wzoru:

$M(n)=O\left(n^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$.

Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem $+1$ i $-1,$ to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{du}{\ln (u)}+O(x^{\theta }\ln (x)),$ gdzie theta oznacza półpłaszczyznę $\Re (s)>\theta ,$

gdzie $s$ to argument funkcji dzeta Riemanna.

Wzory

• Związek pomiędzy funkcją dzeta Riemanna a funkcją Mertensa wynika ze wzoru

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}.$

• $M(n)=\sum _{a\in {ℱ}_n}{e}^{2\pi ia},$ gdzie ${ℱ}_n$ oznacza $n$-ty ciąg Fareya.
• M(n) to wyznacznik $n$-tej macierzy Redheffera, w której $a_{ij}=1,$ gdy $j=1$ lub $i$ dzieli $j,$ a pozostałe wyrazy są zerowe.

Obliczanie wartości funkcji

Osoba	Rok	Granica obliczeń
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1,5Szablon:E
von Sterneck	1901	5Szablon:E
von Sterneck	1912	5Szablon:E
Neubauer	1963	108
Cohen, Dress	1979	7,8Szablon:E
Dress	1993	1012
Lioen, van de Lune	1994	1013
Kotnik, van de Lune	2003	1014
Hurst	2016	1016

Bibliografia

• Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture, „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr)