Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione – para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych (mniejszych od tej liczby) każdej z tych liczb równa się drugiej liczbieSzablon:OdnSzablon:Odn.

Para Pitagorasa

Pierwszą parą takich liczb jest 220 i 284, ponieważSzablon:Odn:

• 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284),
• 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220).

Została ona podana już przez Pitagorasa. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystościSzablon:Odn.

Pary mniejsze od miliona

Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona: Szablon:Układ wielokolumnowy

Wzór Tabita

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita ibn Qurra (826–901)Szablon:OdnSzablon:Odn ok. roku 850.

Niech:

• $n>1$ będzie liczbą naturalną,
• $p=3\cdot 2^{n-1}-1,$
• $q=3\cdot 2^n-1,$
• $r=9\cdot 2^{2n-1}-1.$

Jeśli $p,$ $q$ i $r$ są liczbami pierwszymi, to

$2^{n}pq$ i $2^{n}r$

są liczbami zaprzyjaźnionymiSzablon:OdnSzablon:Odn.

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284), (17296, 18416) oraz (9363584, 9437056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla $n$ = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego $n<=191600$Szablon:Odn.

Wzór Eulera

Euler uogólnił wzór Tabita, podając regułęSzablon:OdnSzablon:Odn, która umożliwia znajdowanie wszystkich liczb zaprzyjaźnionych w postaci par spełniających poniższy warunek:

Jeżeli liczby naturalne $k$ i $n,$ gdzie $k⩽n,$ są takie, że wszystkie trzy liczby

$p=(2^k+1)2^{n+1-k}-1,$

$q=(2^k+1)2^{n+1}-1,$

$r=(2^k+1{)}^2{2}^{2n+2-k}-1$

są pierwsze, to wtedy liczby $2^{n+1}pq$ i $2^{n+1}r$ tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Dla $k=1$ otrzymujemy wzór TabitaSzablon:Odn.

Poszukiwania liczb zaprzyjaźnionych

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Tematem tym zajmował się również polski siedemnastowieczny matematyk Jan Brożek. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) „nieprzyjazne”. W 2001 roku znano milion liczb zaprzyjaźnionychSzablon:Odn, w 2007 roku prawie 12 mlnSzablon:Odn. Obecnie znaleziono ponad miliard takich liczb.

Zobacz też

• liczby towarzyskie

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę