Równanie Pella

Przykład równania Pella dla D=2

Równanie Pella – równanie diofantyczne postaci

$x^2-D{y}^2=1$

gdzie $D$ jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla $D$ będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania $(1,0)$ oraz $(-1,0),$ zaś dla $D$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla $D=n^2,$ gdzie $n\in \mathbb{Z}$ otrzymujemy równanie $x^2-n^2{y}^2=1,$ czyli $(x-ny)(x+ny)=1,$ co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania $(1,0)$ oraz $(-1,0).$

Dla $D$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań

Niech $\frac{l_n}{m_n}$ będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby $\sqrt{D}.$ Sprawdzamy pary liczb $(l_n,m_n)$ aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile $D$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako $(x_1,y_1)$) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze $y_1\ne 0,$ w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę $(1,0)$).

Zauważmy, że skoro $x_1^2-D{y}_1^2=1,$ to $(x_1-y_1\sqrt{D})(x_1+y_1\sqrt{D})=1.$ Oznaczmy przez $x_n$ i $y_n$ liczby spełniające równanie $(x_1+y_1\sqrt{D}{)}^n=x_n+y_n\sqrt{D}.$ Wówczas spełnione będzie równanie $(x_1-y_1\sqrt{D}{)}^n=x_n-y_n\sqrt{D},$ gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy $\sqrt{D}$ jedynie zmieni znak. Zatem

$x_n^2-D{y}_n^2=(x_n+y_n\sqrt{D})\cdot (x_n-y_n\sqrt{D})=(x_1+y_1\sqrt{D}{)}^n\cdot (x_1-y_1\sqrt{D}{)}^n=(x_1^2-D{y}_1^2{)}^n=1^n=1.$

Z pewnością pary $(x_n,y_n)$ są parami różne (gdyż $x_1+y_1\sqrt{D}\ne 1$), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla $D=3.$ Generowane ułamki łańcuchowe to $\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{5}{3},\dots$ Już para $(x,y)=(2,1)$ spełnia równanie $x^2-3y^2=1.$ Mamy zatem $(x_1,y_1)=(2,1).$

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie $(2+\sqrt{3}).$ Mamy zatem:

• $(2+\sqrt{3}{)}^2=7+4\sqrt{3},(x_2,y_2)=(7,4),$ faktycznie $7^2-3\cdot 4^2=49-3\cdot 16=1$
• $(2+\sqrt{3}{)}^3=26+15\sqrt{3},(x_3,y_3)=(26,15),$ faktycznie $26^2-3\cdot 15^2=676-3\cdot 225=1$

Bibliografia

• Równanie Pella

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Pell equation Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].