Ułamek łańcuchowy

Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły (skończony) to wyrażenie postaci:

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\stackrel{\ddots }{a_{k-2}+\frac{1}{a_{k-1}+\frac{1}{a_k}}}}}}$

gdzie $a_0$ jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby $a_n$ są naturalne i dodatnie. Liczby $a_1,a_2,\dots ,a_k$ nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby $a_n$ były rzeczywiste, a ułamki, w których $a_0\in \mathbb{Z}$ i $a_1,\dots ,a_k\in {\mathbb{N}}_{+}$, nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.

Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ,a_k].$ Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima:

$a_0+\frac{1\mid }{\mid a_1}+\frac{1\mid }{\mid a_2}+\frac{1\mid }{\mid a_3}+\dots$.

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

$[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ,a_k].$

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone. Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi

$[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_k+1]=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_k,1],$

czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci $[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_k],$ gdzie $a_0$ jest liczbą całkowitą, $a_1,\dots ,a_k$ są liczbami naturalnymi, a $a_k>1.$ Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.

Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.

Znajdowanie ułamków łańcuchowych

Algorytm znajdowania reprezentacji liczby $x$ w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:

1. $r=x,n=0$
2. $a_n=\lfloor r\rfloor$
3. JEŚLI $r-a_n=0$ – STOP
4. $r=1/(r-a_n),n=n+1$
5. PRZEJDŹ DO 2

Dla $x=2,35$ otrzymujemy na przykład:

• $r=2,35=\frac{47}{20}$
• $a_0=\lfloor r\rfloor =2$
• $r=\frac{1}{\frac{47}{20}-2}=\frac{20}{7}$
• $a_1=\lfloor r\rfloor =2$
• $r=\frac{1}{\frac{20}{7}-2}=\frac{7}{6}$
• $a_2=\lfloor r\rfloor =1$
• $r=\frac{1}{\frac{7}{6}-1}=6$
• $a_3=\lfloor r\rfloor =6$

Zatem:

$2,35=2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{6}}}=[2;2,1,6]$

Redukty, najlepsze wymierne przybliżenia

Niech $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$ będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę $[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$ nazywamy $n$-tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.

Dla $p_n,q_n$ zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

$p_{-1}=1,q_{-1}=0,p_0=a_0,q_0=1$

$p_{k+1}=a_{k+1}{p}_k+p_{k-1}$

$q_{k+1}=a_{k+1}{q}_k+q_{k-1}$

zachodzi $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n]=\frac{p_n}{q_n}.$ Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek $\frac{p_n}{q_n}$ jest $n$-tym reduktem rozwinięcia liczby $a\in ℝ$ w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej $\frac{p}{q}$ spełniającej warunek $0<q<q_n$ zachodzi nierówność

$|a-\frac{p_n}{q_n}|<|a-\frac{p}{q}|$.

Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).

Zobacz też

• stała Chinczyna
• Równanie Pella

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Ułamki Łańcuchowe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 2 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Ułamki łańcuchowe – inny sposób zapisu liczb, blog beta-iks.pl, 19 sierpnia 2021 [dostęp 2023-07-08].
• Szablon:MathWorld