Twierdzenie Gelfonda-Schneidera

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie teorii liczb, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta. Uogólnieniem tego twierdzenia na skończone iloczyny potęg jest twierdzenie Bakera, za które autor otrzymał medal Fieldsa w 1970 r.

Twierdzenie

Jeżeli

α (α \neq 0, α \neq 1)

i

β

β

nie jest liczbą wymierną, to każda wartość

α^{β}

$α$ i $β$ nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
W ogólności $α^{β} = \exp {β \log α},$ gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:

jeżeli

α, (α \neq 0, α \neq 1)

oraz

γ

są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to

(\log γ) / (\log α)

jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.

Pominięcie wymogu, by $β$ było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. $α = 3$ i $β = \log 2 / \log 3$ (jest to liczba przestępna), to $α^{β} = 2$ jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych $α$ i $β,$ dla których $α^{β}$ jest liczbą przestępną nie jest znany.

Bezpośrednio z twierdzenia Gelfonda wynika, że następujące liczby są przestępne:

Stała Gelfonda-Schneidera: $2^{\sqrt{2}}$ oraz liczba ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} .$
Stała Gelfonda: $e^{π} = \exp {- i \log (- 1)}$ jest jedną z wartości $(- 1)^{- i} .$

dowód niekonstruktywny
twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa
hipoteza Schanuela – twierdzenia Gelfonda i twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa są wnioskami z tej hipotezy