Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa – twierdzenie teorii liczb sformułowanie w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, a udowodnione w 1885 roku przez Karla Weierstrassa.

Twierdzenie

Jeżeli $a_1,a_2,\dots ,a_n$ są różnymi liczbami algebraicznymi, to liczby $e^{a_1},e^{a_2},\dots ,e^{a_n}$ są liniowo niezależne nad ciałem $\bar{\mathbb{Q}}$ liczb algebraicznych.

Zastosowania

Twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa pozwala stwierdzić przestępność niektórych liczb.

• Jeżeli $x\ne 0$ jest liczbą algebraiczną, to $e^x$ jest liczbą przestępną. Wystarczy w twierdzeniu Lindemanna-Weierstrassa przyjąć $a_1=0$ oraz $a_2=x.$ W szczególności wynika z tego przestępność liczby e.
• Jeżeli $x\notin \{0,1\}$ jest liczbą algebraiczną, to $\ln x$ jest liczbą przestępną. Gdyby $\ln x$ było liczbą algebraiczną, to $x=e^{\ln x}$ byłoby liczbą przestępną.
• Przyjmując $a_1=0$ oraz $a_2=\pi i,$ a następnie korzystając z tego, że $e^{\pi i}+1=0,$ dowodzi się, że liczba π jest przestępna.