Pierwiastek kwadratowy z 2

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest równy długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego z jednostkowymi przyprostokątnymi.

Pierwiastek kwadratowy z liczby 2 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 2) – dodatnia liczba rzeczywista, której kwadrat jest równy liczbie 2. Jest to więc przykład liczby algebraicznej stopnia 2. Geometrycznie pierwiastek kwadratowy z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku długości 1, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok).

Prawdopodobnie jest to pierwsza znana liczba niewymierna (patrz dowody niewymierności); jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 65 miejsca po przecinku wynosi

1,414213 562373 095048 801688 724209 698078 569671 875376 948073 176679 737990…

Dobrym przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2 jest liczba wymierna $\frac{99}{70};$ choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 70, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10 000.

Historia

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 z adnotacjami.

Gliniana tabliczka babilońska YBC 7289 (ok. 1800–1600 p.n.e.) podaje przybliżenie $\sqrt{2}$ na czterech cyfrach sześćdziesiątkowych, co odpowiada dokładności około sześciu cyfr dziesiętnych:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=1,41421\overline{296}.$

Inne wczesne przybliżenie tej wartości pochodzi ze staroindyjskich tekstów matematycznych, Sulba Sutras (ok. 800–200 p.n.e.) podaje: „Zwiększ długość [boku] o jego trzecią część i ćwierć trzeciej bez trzydziestej czwartej tej ćwierci”, co daje

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34}=\frac{577}{408}\approx 1,414215686.$

To staroindyjskie przybliżenie jest siódmym w kolejności zwiększania dokładności przybliżeń opartych na ciągu liczb Pella, które mogą być wyznaczone w rozwinięciu ułamka łańcuchowego z $\sqrt{2}.$

Pitagorejczycy odkryli, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem, co dziś można by zawrzeć w stwierdzeniu, iż pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą niewymierną (patrz Geometryczny dowód niewymierności). Niewiele wiadomo o czasie i okolicznościach tego odkrycia, ale często wspomniane jest imię Hippazosa z Metapontu. Obecnie uważa się, że starożytni Grecy traktowali odkrycie niewymierności pierwiastka kwadratowego z 2 jako „tajemnicę służbową”, a według legendy Hippazos miał zostać zamordowany za jej ujawnienie.

Niewymierność

Szablon:Zobacz też Liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna, tzn. nie da się jej przedstawić w postaci ułamka zwykłego postaci $\frac{m}{n},$ gdzie $m,n$ są liczbami całkowitymi (ponieważ $\sqrt{2}>0,$ to można ograniczyć się do dodatnich, tzn. naturalnych $m,n$). Oba przedstawione dowody są rozumowaniami nie wprost.

Dowód geometryczny

Ilustracja do geometrycznego dowodu niewymierności pierwiastka z 2.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że stosunek długości $m$ przeciwprostokątnej $AC$ do długości $n$ dowolnej przyprostokątnej ($AB$ lub $BC$) w równoramiennym trójkącie prostokątnym $ABC$ wynosi $\sqrt{2}.$ Niech będzie on wielkością wymierną, tzn. istnieją dwie całkowite i dodatnie liczby $m,n,$ dla których $\sqrt{2}=\frac{m}{n},$ przy czym są najmniejsze liczby o tej własności.

Przedłużając odcinek $AB$ do odcinka $AE$ o długości $m$ oraz odkładając na boku $AC$ odcinek $AD$ o długości $n,$ otrzymuje się wraz z punktami $D,E$ również punkt $F$ będący punktem przecięcia odcinków $BC$ oraz $DE.$ Ponadto można wyróżnić dwa równoramienne trójkąty prostokątne $EBF$ oraz $CDF$ podobne do $ABC$ o przyprostokątnych długości $m-n$ i przeciwprostokątnych $2n-m.$

Ponieważ $n<m<2n,$ to nieujemne długości $n^{\prime }=m-n$ oraz $m^{\prime }=2n-m$ są mniejsze odpowiednio od $n$ oraz $m$ i również spełniają $\sqrt{2}=m^{\prime }/n^{\prime }$ (z konstrukcji), co przeczy założeniu minimalności liczb $m,n$ o tej własności. Sprzeczność ta dowodzi, iż $\sqrt{2}$ nie może być liczbą wymierną.

Dowód arytmetyczny

Niech $\sqrt{2}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne $m$ oraz $n,$ że $\sqrt{2}=m/n,$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, że są względnie pierwsze.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu, otrzymuje się $2=m^2/n^2,$ skąd $2n^2=m^2.$ Ponieważ $2n^2$ jest liczbą parzystą, to i $m^2$ jest parzysta. Skoro kwadrat liczby jest parzysty, to liczba też jest parzysta; stąd $m=2k$ dla pewnej liczby naturalnej $k,.$ Podstawienie tego wyrażenia do poprzedniego równania daje $m^2=(2k{)}^2=4k^2,$ zatem $2n^2=4k^2,$ tj. $n^2=2k^2,$ co oznacza, że liczba $n^2,$ a stąd także $n,$ jest parzysta.

Skoro $m,n$ są jednocześnie parzyste, więc nie są względnie pierwsze. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba $\sqrt{2}$ jest niewymierna.

Własności

Przekrój Dedekinda dla pierwiastka kwadratowego z 2.

Poza niewymiernością opisaną w poprzedniej sekcji pierwiastek z 2 ma szereg innych własności; przykładowo połowa $\sqrt{2}$ wynosząca ok. 0,70710 67811 86548, która bywa wykorzystywana przede wszystkim w geometrii i trygonometrii, gdyż wersor tworzący kąt 45° z osiami układu współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie euklidesowej ma współrzędne

$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Liczba ta spełnia

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos (45^{\circ })=\sin (45^{\circ }).$

Inną własnością pierwiastka kwadratowego z 2 jest:

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1,$

gdyż $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1.$ Jest to związane z właściwościami srebrnego podziału.

Kolejna własność pierwiastka kwadratowego z 2 to:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots }}}=2.$

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać wyrażony za pomocą jednostek urojonych i, wykorzystując tylko pierwiastkowanie i operacje arytmetyczne:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}\text{ i }\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}.$

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest także jedyną liczbą rzeczywistą różną od 1, której nieskończone potęgowanie przez siebie samą jest równe jej kwadratowi.

${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}=2.$

Pierwiastek kwadratowy z 2 może zostać użyty do aproksymacji π:

$2^m\underset{m}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}}}\to \pi \text{ gdy }m\to \mathrm{\infty }$

dla $m$ pierwiastków kwadratowych i tylko jednego odejmowania.

Reprezentacje

Przedstawienia
Dwójkowo	1,0110101000001001111…
Dziesiętnie	1,4142135623730950488…
Szesnastkowo	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Ułamek łańcuchowy	$[1;2,2,2,2,\dots ]$

Tożsamość $\cos (\pi /4)=\sin (\pi /4)=1/\sqrt{2},$ przy uwzględnieniu nieskończonych reprezentacji iloczynowych dla sinusa i cosinusa, prowadzi do następującej zależności

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(4k+2{)}^2})=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{36})(1-\frac{1}{100})\dots$

i

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k+2{)}^2}{(4k+1)(4k+3)}=\left(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\right)\left(\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\right)\left(\frac{10\cdot 10}{9\cdot 11}\right)\left(\frac{14\cdot 14}{13\cdot 15}\right)\dots$

lub równoważnie,

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4k+1})(1-\frac{1}{4k+3})=(1+\frac{1}{1})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\dots$

Ta liczba może także być wyrażona za pomocą szeregów Taylora z funkcji trygonometrycznych. Na przykład seria dla $\cos (\pi /4)$ daje

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{2k}}{(2k)!}.$

Szereg Taylora z $\sqrt{1+x}$ dla $x=1$ i silnia podwójna $n!!$ daje

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\dots$

Zbieżność szeregu może być przyspieszona przez przekształcenie Eulera, prowadzące do postaci

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+1)!}{(k!{)}^2{2}^{3k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{64}+\frac{35}{256}+\frac{315}{4096}+\frac{693}{16384}+\dots$

Nie wiadomo, czy $\sqrt{2}$ może być przedstawiony za pomocą formuły typu BBP, aczkolwiek formuły typu BBP są znane dla $\pi \sqrt{2}$ i $\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2})$.

Przybliżenia

Szablon:Zobacz też O doniosłości tej liczby mówi fakt, iż wśród stałych matematycznych z większą dokładnością obliczono jedynie stałą π. Istnieje wiele algorytmów przybliżania pierwiastka kwadratowego z 2. Najczęściej stosowaną metodą, używaną jako podstawowa na wielu komputerach i kalkulatorach, jest tzw. „metoda babilońska” obliczania pierwiastka kwadratowego (zwana także metodą Herona), która jest jedną z wielu metod. Algorytm jest następujący:

• wybrać liczbę początkową $a_0>0,$ która ma wpływ jedynie na liczbę iteracji niezbędną do osiągnięcia przybliżenia z żądaną dokładnością;
• wykonać kolejne obliczenia rekurencyjne:

  $a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.$

Zwiększenie liczby iteracji algorytmu, tj. przeprowadzenie obliczeń dla większej liczby $n,$ zwiększa średnio dwukrotnie liczbę poprawnych cyfr rozwinięcia. Przyjęcie $a_0=1$ daje następujące przybliżenia

$\begin{array}{ccc}{a}_1& =3/2& =1,5\\ a_2& =17/12& =1,416\dots \\ a_3& =577/408& =1,414215\dots \\ a_4& =665857/470832& =1,4142135623746\dots \\ \dots \end{array}$

W 1997 roku zespół Yasumasy Kanady obliczył wartość pierwiastka z 2 z dokładnością do 137 438 953 444 cyfr po przecinku. W lutym 2006 roku pobito rekord przybliżania tej liczby przy użyciu komputera domowego: Shigeru Kondo obliczył 200 000 000 000 cyfr po przecinku w nieco ponad 13 dni i 14 godzin, używając PC 3,6 GHz z 16 GiB pamięci.

Zastosowania

Format papieru

Cztery linie: cztery etapy konstrukcji arkusza o standardowych wymiarach za pomocą cyrkla i ekierki. Jeśli wymiar d wynosi 21 cm, to otrzymany prostokąt ma wymiary arkusza A4.

Stosunek długości do szerokości arkusza jest dobrym przybliżeniem √2.

Rozmiary papieru formatu A, B i C normy ISO 216 zostały celowo tak zaprojektowane, żeby po podzieleniu na dwie równe części uzyskać dwa arkusze o tych samych proporcjach długości do szerokości. Jest to możliwe, tylko jeśli ten stosunek wynosi √2. W praktyce rzeczywiste wymiary są zaokrąglone do pełnych milimetrów.

Przybliżone wymiary A0-A4 wyrażone w √2. W praktyce, wymiary są zaokrąglone.

Format	Długość [m]	Szerokość [m]	Powierzchnia [m²]
A0	$\sqrt{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$	$1$
A1	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{1}{2}$
A2	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{1}{4}$
A3	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}$	$\frac{1}{8}$
A4	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}$	$\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4\sqrt{2}}$	$\frac{1}{16}$

Serie formatu B i C różnią się od serii A odpowiednio o czynnik ⁴√2 (~ 1,19) i ⁸√2 (~ 1,09).

Współczynniki skalujące stosowane w kserokopiarkach o wartościach 200%, 141%, 71%, 50% to przybliżone wartości (√2)ⁿ. Umożliwiają one zmianę formatu na większą lub mniejszą, bądź też wydruk 2ⁿ kopii/stron na arkusz.

Muzyka

Szablon:Zobacz też System równomiernie temperowany jest utworzony w następujący sposób: stosunek częstotliwości między skrajnymi nutami w oktawie wynosi 2; a cała gama jest podzielona na dwanaście równych półtonów, tj. stosunek częstotliwości między kolejnymi dźwiękami jest stały i wynosi ƒ = 2^1/12.

Stosunek częstotliwości nuty w gamie równomiernie temperowanej do częstotliwości najniższej nuty w gamie.

do

do♯

re

re♯

mi

fa

fa♯

sol

sol♯

la

la♯

si

do

1

21/12

21/6

21/4

21/3

25/12

√2

27/12

22/3

23/4

25/6

211/12

2

W tym systemie, kwarta zwiększona (do–fa♯) i kwinta zmniejszona (do-sol♭) są takie same, a odległość między dźwiękami wynosi 6 półtonów (tryton), których stosunek częstotliwości wynosi $\sqrt{2}.$ W dawnej muzyce kościelnej używanie kwinty zmniejszonej lub kwarty zwiększonej było zakazane, ponieważ interwały te wydawały się takimi dysonansami, że uznawano je za stworzone przez diabła, nazywając je z łaciny „diabolus in musica” (dosłownie „diabeł w muzyce”).

Elektryczność

Szablon:Zobacz też Ogólnie znana wartość napięcia elektrycznego 230 V, to wartość skuteczna napięcia przemiennego. Aby poznać wartość maksymalną tego napięcia należy wartość skuteczną pomnożyć przez $\sqrt{2}.$

$U_{max}=U_{sk}\sqrt{2}=230V\sqrt{2}\simeq 325V$

Zobacz też

• historia liczb
• metody obliczania pierwiastka kwadratowego
• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek kwadratowy z 3
• pierwiastek kwadratowy z 5
• pierwiastkowanie

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta