Pierwiastek kwadratowy z 5

Przedstawienia

Dwójkowo	10.0011110001101111...
Dziesiętnie	2.23606797749978969...
Szesnastkowo	2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy	$2+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\frac{1}{4+\ddots }}}}$

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

$\sqrt{5}.$

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089…

W listopadzie 2019 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 w systemie dziesiętnym została wyznaczona z dokładnością co najmniej 2 000 000 000 000 cyfr.

Liczba przybliżona 2,236 określa jego wartość z dokładnością 0,01%. Bliskim ułamkiem jest $\frac{161}{72}$ (2,2361 11111...), choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 72, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Dowód niewymierności

Niech $\sqrt{5}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne $m$ oraz $n,$ że $\sqrt{5}=m/n,$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się $5=m^2/n^2,$ skąd $5n^2=m^2.$ Ponieważ $5n^2$ jest liczbą podzielną przez 5, to i $m^2$ jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5; stąd liczba $m$ jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna $k,$ dla której $m=5k.$ Podstawienie tego równania do poprzedniego daje $m^2=(5k{)}^2=25k^2,$ zatem $5n^2=25k^2,$ tj. $n^2=5k^2,$ co ponownie oznacza, że liczba $n^2,$ a stąd i $n,$ jest podzielna przez 5.

Skoro tak $m,$ jak i $n$ są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba $\sqrt{5}$ jest niewymierna.

Geometria

Geometrycznie $\sqrt{5}$ jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między $\sqrt{5}$ a $\phi ,$ można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział

Konstrukcja złotego prostokąta

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

$\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2},$

jak również jej odwrotności

$\frac{1}{\phi }=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Przekształcając powyższe wzory, można zauważyć, że

$\sqrt{5}=2\phi -1=\phi +\frac{1}{\phi }.$

Zobacz też

• metody obliczania pierwiastka kwadratowego
• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek kwadratowy z 2
• pierwiastek kwadratowy z 3
• pierwiastkowanie
• złoty podział