Wektor jednostkowy

Wersor – wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor się przypisuje. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

Definicja formalna

Niech $(X,\Vert \cdot \Vert )$ będzie przestrzenią unormowaną. Wersorem $x^{\circ }$ niezerowego wektora $x\in X$ nazywamy wektor

$x^{\circ }=\frac{x}{\Vert x\Vert }.$

Oczywiście $x^{\circ }\in \mathrm{lin}(x)$ oraz $\Vert x^{\circ }\Vert =1.$

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.

Wersor osi

Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi $OX,OY,OZ$ oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:

• symbolami $i,j,k,$
• $e_1,e_2,e_3,$
• $e_x,e_y,e_z,$
• ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3.$

Przykłady

• W przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^3$ ze zwykłym iloczynem skalarnym wersorem wektora $𝐱=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right]$ jest wektor ${𝐱}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{\sqrt{29}}\\ \frac{3}{\sqrt{29}}\\ \frac{4}{\sqrt{29}}\end{array}\right].$
• W przestrzeni ${ℝ}_2[X]$ (tj. przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż 2 zmiennej rzeczywistej) z iloczynem skalarnym $⟨f,g⟩=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx$ i normą $\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$ wersorem wektora $f(X)=X^2+X+1$ jest wektor

$f^{\circ }(X)=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(X^2+X+1)(X^2+X+1)dX}}=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\frac{22}{5}}}=\sqrt{\frac{5}{22}}{X}^2+\sqrt{\frac{5}{22}}X+\sqrt{\frac{5}{22}}.$

Zobacz też

• ortogonalizacja Grama-Schmidta
• tensor

Uwagi

• Baza ortogonalna złożona z wersorów jest bazą ortonormalną.
• W fizyce zamiast $x^{\circ }$ stosuje się zapis ${\overrightarrow{e}}_x$ lub $\hat{x}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Wektory jednostkowe, kanał Khan Academy na YouTube, 23 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].