Stopień wielomianu

Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian $xy=x^1{y}^1$ jest stopnia drugiego.

Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów) o niezerowych współczynnikach. Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie.

Stopień wielomianu $f$ oznacza się $\mathrm{deg}f$ – skrót od Szablon:Ang.Szablon:Fakt.

Niekiedy zakłada się, że jeśli $f\equiv 0,$ wówczas $\mathrm{deg}f=-\mathrm{\infty }.$

Przykłady

• $3x^3-2x^2+x-1$ – wielomian stopnia 3,
• $x^5+x^3-2x+11$ – wielomian stopnia 5,
• $2x$ – wielomian stopnia 1,
• $-9$ – wielomian stopnia 0,
• $0$ – wielomian zerowy (najczęściej dla tego wielomianu nie definiuje się stopnia).

Własności

• Stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:

$\mathrm{deg}(f\pm g)⩽\max (\mathrm{deg}f,\mathrm{deg}g).$

• Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni w pierścieniu bez dzielników zera:

$\mathrm{deg}(f\cdot g)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g.$

Rozszerzenie pojęcia

Stopień wielomianu $f(x)$ można także zdefiniować metodami analitycznymi:

$\mathrm{deg}f:=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log |f(x)|}{\log (x)}.$

Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej, która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:

• $\mathrm{deg}\frac{1}{x}=-1,$
• $\mathrm{deg}\sqrt{x}=\frac{1}{2},$
• $\mathrm{deg}\log x=0,$
• $\mathrm{deg}\exp x=\mathrm{\infty }.$

Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},$ to dla funkcji różniczkowalnej można skorzystać z reguły de l’Hospitala. Wówczas

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log |f(x)|}{\log (x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(\log |f(x)|{)}^{\prime }}{(\log (x){)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}.$

Jeśli $\mathrm{deg}f,\mathrm{deg}g$ istnieją, to łatwo sprawdzić, że istnieje $\mathrm{deg}f\cdot g$ oraz $\mathrm{deg}f\cdot g=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g.$ Faktycznie

$\frac{x(fg{)}^{\prime }}{fg}=\frac{x(f^{\prime }g+f{g}^{\prime })}{fg}=\frac{x{f}^{\prime }g}{fg}+\frac{xf{g}^{\prime }}{fg}=\frac{x{f}^{\prime }}{f}+\frac{x{g}^{\prime }}{g}.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Michał Niedźwiedź, Stopień wielomianu, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-23].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-05-23].