Srebrny podział

Srebrny prostokąt

Srebrny podział – stała matematyczna, której nazwa nawiązuje do złotego podziału. Podobnie jak ilorazy dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbiegają do odwrotności złotej liczby (tzn. do $1/\phi$), tak odwrotność srebrnej liczby jest granicą ilorazów dwóch kolejnych liczb Pella. Dwa odcinki będące w srebrnym podziale mają się więc do siebie tak, jak bok jednostkowego kwadratu do jego przekątnej.

Srebrny podział w ośmiokącie foremnym

Definicja

Srebrny podział $({\delta }_S)$ definiuje się jako liczbę niewymierną, będącą sumą liczby 1 i pierwiastka kwadratowego z 2, czyli:

${\delta }_S=1+\sqrt{2}\approx 2,414213562373095048801688724210$

Z definicji wynika, że:

$({\delta }_S-1{)}^2=2.$

Srebrny podział może być również zdefiniowany jako prosty ułamek łańcuchowy [2; 2, 2, 2,...]:

${\delta }_S=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}$

Potęgi liczby srebrnej da się wyrazić tak:

${\delta }_S^n=P(n){\delta }_S+P(n-1)$ dla n>0, gdzie P(n) to n-ta liczba Pella, analogicznie do podobnej równości dla liczby phi wykorzystującej liczby Fibonacciego.

Wyprowadzenie

Dzielone części oznaczmy jako, a i b; z definicji s. podziału zachodzi: $\frac{a}{b}=\frac{2a+b}{a}={\delta }_S,$ co można skrócić do $\frac{a}{b}=2+\frac{b}{a}={\delta }_S,$ więc ${\delta }_S=2+\frac{1}{{\delta }_S}.$ Jest to równanie kwadratowe, ma dodatni pierwiastek równy ${\delta }_S=1+\sqrt{2}$ (dla sposobu rozwiązania vide: równanie kwadratowe).

Właściwości trygonometryczne

Szablon:Sekcja stub Srebrny podział ma związek z kątem $\frac{\pi }{8}$.

$\mathrm{ctg}\frac{\pi }{8}=1+\sqrt{2}$

Wykorzystanie

Szablon:Sekcja stub Srebrny podział jest stosowany w architekturze – w Polsce według badania O. Vogta i in. wystąpił w 76% analizowanych budynków w Krakowie.