Liczby Pella

Srebrny prostokąt, powiązany z l.P.

Liczby Pella – liczby naturalne opisane przez następujący wzór rekurencyjny:

$P_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{gdy }n=0;\\ 1& \text{gdy }n=1;\\ 2P_{n-1}+P_{n-2}& \text{gdy }n>1\end{array}$

Własności i przykłady

• Pierwsze wyrazy ciągu liczb Pella to:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...

• $n$-ty wyraz tego ciągu da się również obliczyć ze wzoru:

$P_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}.$

• Istnieje także wzór macierzowy:

$\left(\begin{array}{cc}{P}_{n+1}& P_n\\ P_n& P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n.$

• Granica ilorazu dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa odwrotności srebrnej liczby, tzn.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}.$

• Suma odwrotności liczb Pella (dla $n>0$) jest zbieżna do pierwiastka z dwóch, tzn.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P_n}=\sqrt{2}.$

Zobacz też

• ciąg Fibonacciego

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].