Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

$\int f(x)g(x)dx.$

Jeśli potrafimy znaleźć takie $h(x),$ że $h^{\prime }(x)=f(x),$ to możemy przekształcić tę całkę do postaci:

$\int f(x)g(x)dx=\int h^{\prime }(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g^{\prime }(x)dx.$

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{h}^{\prime }(x)g(x)dx={[h(x)g(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}h(x)g^{\prime }(x)dx.$

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

$\int udv=uv-\int vdu.$

Dowód

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

$(h(x)g(x))=h(x)g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)g(x),$

$h^{\prime }(x)g(x)=(h(x)g(x))-h(x)g^{\prime }(x),$

$\int h^{\prime }(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g^{\prime }(x)dx.$

Całki pętlące się (zwrotne)

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+\int e^x\sin (x)dx=e^x\cos (x)+e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx.$

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

$2\int e^x\cos (x)dx=e^x(\cos (x)+\sin (x))+C,$

$\int e^x\cos (x)dx=\frac{1}{2}{e}^x(\cos (x)+\sin (x))+C^{\prime }.$

Zobacz też

• całkowanie przez podstawienie

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Helena Kazieko, Całkowanie przez części, kanał Nauka / Science SGGW na YouTube, 5 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].
• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. III. – Całkowanie przez części, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].