Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja $\psi (x)$ jest różniczkowalna w $D$
• $I=\psi (D)$ jest przedziałem
• Funkcja $g(x)$ ma funkcję pierwotną w przedziale $I,$ tzn. $G^{\prime }(t)=g(t)$ dla $t$ należących do $I$
• $f(x)=g(\psi (x))\cdot {\psi }^{\prime }(x),x\in D$

to funkcja $f$ jest całkowalna w $D$ oraz:

$\int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot {\psi }^{\prime }(x)dx=G(\psi (x))+C$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx,$

to można zmienić podstawę całkowania na $g(x):$

$\int f(g(x))dg(x).$

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja $f$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja $g$ określona na przedziale $[a;b]$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• $g^{\prime }(x)\ne 0$ dla każdego $x$ z przedziału $(a;b).$
• Obraz funkcji $g$ zawiera się w dziedzinie funkcji $f.$

Wówczas:

$\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt$

Przykłady

• Obliczając całkę $\int \frac{\ln (x)}{x}dx,$ zastosować można podstawienie $\ln (x)=t,$ tzn. $\frac{dx}{x}=dt,$ więc:

$\int \frac{\ln (x)}{x}dx=\int tdt=\frac{1}{2}{t}^2+C=\frac{1}{2}{\ln }^2(x)+C.$

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

$\int \sin (2x+3)dx=\frac{1}{2}\int \sin (2x+3)\cdot 2dx=\frac{1}{2}\int \sin (2x+3)\cdot d(2x+3)=-\frac{1}{2}\cos (2x+3)+C.$

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci $R(\sin x,\cos x)$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}.$ Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus $(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\cos x$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus $(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\sin x$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie $(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),$ stosuje się podstawienie $t=\mathrm{tg}x$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

$t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$

$\frac{x}{2}=\mathrm{arctg}t$

$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

zachodzi:

$\sin x=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}}+1}=\frac{2t}{t^2+1}$

$\cos x=\frac{{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}}}{1+\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

W przypadku podstawienia $t=\mathrm{tg}x$ mamy dla funkcji postaci $R({\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x,\sin x\cos x):$

$x=\mathrm{arctg}t,$ $dx=\frac{dt}{1+t^2}$

${\sin }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}\cdot \frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{t^2}{t^2+1}$

${\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}\cdot \frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{t^2+1}$

$\sin x\cos x=\frac{\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}\cdot \frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{t}{t^2+1}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

$\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2}=$

$=\int \frac{dt}{t+1}=\ln |t+1|+C=\ln |\mathrm{tg}\frac{x}{2}+1|+C$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci $R(\sqrt{a{x}^2+bx+c},x),$ gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x.$ Wobec tego otrzymuje się:

$a{x}^2+bx+c=a{x}^2-2\sqrt{a}xt+t^2⟹x(b+2\sqrt{a}t)=t^2-c⟹x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}t},$

$dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}t)-2\sqrt{a}(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}t{)}^2}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a}\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}t}+t.$

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}.$

Zachodzi:

$a{x}^2+bx+c=x^2{t}^2+2\sqrt{c}xt+c⟹ax+b=x{t}^2+2\sqrt{c}t⟹x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b⟹x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},$

$dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2{)}^2}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}{t}^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}.$

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=(x-\alpha )t-\sqrt{\lambda }.$

Wtedy gdy $(a>0)\vee (b^2-4ac>0),$ to da się tak dobrać $\alpha ,$ aby $\lambda >0.$

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu $a{x}^2+bx+c.$ Przyjmuje się wtedy:

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1).$ Stąd:

$(x-x_1)t^2=a(x-x_0)⟹x(t^2-a)=t^2{x}_1-a{x}_0⟹x=\frac{t^2{x}_1-a{x}_0}{t^2-a},$

$dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a{)}^2}dt.$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t(\frac{t^2{x}_1-a{x}_0}{t^2-a}-x_1).$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: $x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$ gdzie $a$ i $b$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz $m,n$ i $p$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto $p=\frac{q}{r},$ gdzie $q,r$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

$\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy $p$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy $\frac{m+1}{n}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie $t=\sqrt[r]{a+b{x}^n}.$
• gdy $\frac{m+1}{n}+p$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie $t=\sqrt[r]{\frac{a+b{x}^n}{x^n}}.$

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• $\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx$ – podstawiamy $x=a\sinh t$ lub $x=a\mathrm{tg}t$
• $\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx$ – podstawiamy $x=a\cosh t$ lub $x=a\sec t$
• $\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx$ – podstawiamy $x=a\mathrm{tgh}t$ lub $x=a\sin t$

Inne podstawienia

• Całki typu $\int R(e^x)dx$ obliczamy przez podstawienie $e^x=t.$ Stąd: $x=\ln t,dx=\frac{dt}{t}.$
• Całki typu $\int R(x,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{p_1},{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{p_2},\dots ,{\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)}^{p_n})dx,$ gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając $\frac{ax+b}{cx+d}=t^k,$ gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Tomasz Drwięga, Podstawienia Eulera, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-09].

Szablon:Otwarty dostęp Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-09]:

• Analiza – całkowanie przez podstawienie, kanał Khan Academy.
• Helena Kazieko, Całkowanie przez podstawienie, kanał Nauka / Science SGGW, 5 maja 2020.
• Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. IV. – Całkowanie przez podstawienie, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022.

Szablon:Otwarty dostęp Integration by substitution Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].