Wzór Wallisa

Wzór Wallisa – rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby „szybciej zbieżne”. Wzór Wallisa ma postać:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \dots =\frac{\pi }{2}.$

Wyprowadzenie

Pierwiastki funkcji $\frac{\sin x}{x}$ są postaci $k\pi ,$ gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:

$\frac{\sin x}{x}=k(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\dots ,$

gdzie $k$ jest pewną stałą. Aby znaleźć granicę $k$ zauważamy, że

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(k(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\dots )=k.$

Korzystając z faktu, iż:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$

otrzymujemy $k=1.$ Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:

$\frac{\sin x}{x}=(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\dots ,$

$\frac{\sin x}{x}=(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\dots$

Podstawiając $x=\frac{\pi }{2}$

$\frac{1}{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{\pi }=(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{4^2})(1-\frac{1}{6^2})\dots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2}).$

Ostatecznie:

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \dots$

Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla $k!,$ jak i dla $2k!,$ można po krótkich obliczeniach zauważyć, że $p_k$ zbiega do $\pi /2$ przy $k\to \mathrm{\infty }.$

Wykres iloczynów częściowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Grant Sanderson, The Wallis product for pi, proved geometrically, kanał 3blue1brown na YouTube, 20 kwietnia 2018 [dostęp 2021-10-03].