Iloczyn nieskończony

Iloczyn nieskończony – iloczyn nieskończenie wielu liczb rzeczywistych lub zespolonych; pojęcie analogiczne do szeregu.

Ustalenia wstępne

Jeżeli $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$ jest ciągiem liczb, to liczby $P_1=p_1,P_2=p_1{p}_2,\dots ,P_n=p_1{p}_2\cdot \dots \cdot p_n$ nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n=p_1{p}_2\cdot \dots \cdot p_n\dots$

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu $p_n,$ natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregami

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu $p_n$ nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu $p_n$ jest zbieżny, to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=1.$

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego

Iloczyn nieskończony ciągu $p_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln p_n.$

Jeżeli warunek ten jest spełniony i $L$ jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi $e^L.$

Można podać też inne kryteria zbieżności:

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ wyrazy ciągu liczbowego $a_n$ są stałego znaku, to iloczyn nieskończony

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

• Jeżeli zbieżne są szeregi: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ i $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^2,$ to zbieżny jest iloczyn $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n).$

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+|a_n|).$

Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{n}_0\mathrm{\forall }n>n_0\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}|\frac{P_{n+k}}{P_n}-1|<ϵ.$

Wniosek: Iloczyn $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ jest bezwzględnie zbieżny $\iff$ Szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone

$\sin z=z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{{\pi }^2{n}^2})$ – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \dots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}$

$\cos z=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{{\pi }^2(2n-1{)}^2})$

$\sinh z=z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z^2}{{\pi }^2{n}^2})$

$\cosh z=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{4z^2}{{\pi }^2(2n-1{)}^2})$

$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1-p_n^{-z})}$ – funkcja ζ Riemanna, $p_n$ oznacza ciąg liczb pierwszych

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot \dots$ – iloczyn Vièta

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-05-31].
• Szablon:Otwarty dostęp Infinite product Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].