Komutator (matematyka)

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Spis treści Komutator – wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

$[g,h]=g^{-1}{h}^{-1}gh.$

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $gh=hg$). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G.$ Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

$[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}.$

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g^x$ oznacza sprzężony (przez $x$) element $x^{-1}gx.$

• $[y,x]=[x,y{]}^{-1}.$
• ${[[x,y^{-1}],z]}^y\cdot {[[y,z^{-1}],x]}^z\cdot {[[z,x^{-1}],y]}^x=1.$
• $[xy,z]=[x,z{]}^y\cdot [y,z].$
• $[x,yz]=[x,z]\cdot [x,y{]}^z.$

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga

Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $xg{x}^{-1},$ zwykle zapisuje się to jako ${}^{x}g.$

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

$[a,b]=ab-ba.$

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej, jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• $[A,A]=0,$
• $[A,B]=-[B,A],$
• $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C],$
• $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B,$
• $[A,BC]=[AB,C]+[CA,B],$
• $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC,$
• $[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]].$

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia $\Re ,$ pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_A:R\to R$ danego wzorem $B\mapsto [A,B].$ Innymi słowy, odwzorowanie $D_A$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu $\Re .$

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa:

• $e^{A}B{e}^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\dots$

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\mathrm{d},$ który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\mathrm{x},$ który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

• $\mathrm{d}(\mathrm{x}F)=\mathrm{dx}F+\mathrm{xd}F=F+\mathrm{xd}F,$ ponieważ $\mathrm{dx}=1,$
• $\mathrm{x}(\mathrm{d}F)=\mathrm{xd}F.$

Odjęcie tych równań stronami daje:

$\mathrm{d}(\mathrm{x}F)-\mathrm{x}(\mathrm{d}F)=F+\mathrm{xd}F-\mathrm{xd}F,$

$\mathrm{d}(\mathrm{x}F)-\mathrm{x}(\mathrm{d}F)=F.$

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\mathrm{dx}-\mathrm{xd})F=F,$

$(\mathrm{dx}-\mathrm{xd})=1,$ czyli $[\mathrm{d},\mathrm{x}]=1.$

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\mathrm{d}$ i $\mathrm{x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[\omega ,\eta {]}_{gr}:=\omega \eta -(-1{)}^{\mathrm{deg}\omega \mathrm{deg}\eta }\eta \omega .$

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\mathrm{ad}(x)(y)=[x,y].$

Wówczas $\mathrm{ad}(x)$ jest różniczkowaniem, a $\mathrm{ad}$ jest liniowe, np. $\mathrm{ad}(x+y)=\mathrm{ad}(x)+\mathrm{ad}(y)$ oraz $\mathrm{ad}(\lambda x)=\lambda \mathrm{ad}(x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\mathrm{ad}([x,y])=[\mathrm{ad}(x),\mathrm{ad}(y)],$ ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\mathrm{ad}(xy)=\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• $\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(x)(y)=[x,[x,y]].$
• $\mathrm{ad}(x)\mathrm{ad}(a+b)(y)=[x,[a+b,y]].$

Komutator w fizyce

Komutator jest często używany w fizyce kwantowej:

• W mechanice kwantowej procedura kwantowania kanonicznego polega na zastąpieniu nawiasów Poissona komutatorami, tzn. $[\mathrm{X},\mathrm{P}]=\mathrm{XP}-\mathrm{PX}=i\hslash ,$ gdzie $\mathrm{X}$ oraz $\mathrm{P}$ stają się operatorami w przestrzeni Hilberta. Konsekwencją wprowadzenia takich reguł komutacyjnych jest zasada nieoznaczoności Heisenberga.
• W procedurze drugiej kwantyzacji (stosowanej dla układów wielu cząstek) wprowadzane są operatory kreacji i anihilacji cząstek, które dla bozonów spełniają reguły komutacji, a dla fermionów antykomutacji.
• W definicjach funkcji Greena stosowane są komutatory dla bozonów oraz antykomutatory dla fermionów.

Antykomutator

Antykomutator $\{a,b\}$ lub $[a,b{]}_{+}$ definiowany jest jako $[a,b{]}_{+}=ab+ba.$ Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $[a,b{]}_{-}.$

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermiony). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, tzn. $[{\hat{a}}^{†},\hat{a}{]}_{+}=0={\hat{a}}^{†}\hat{a}+\hat{a}{\hat{a}}^{†}.$

Reguła ta wynika z zakazu Pauliego mówiącego, że dany stan kwantowy może być obsadzony tylko przez jedną cząstkę.

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy nawiasie kwadratowym $[\cdot ,\cdot {]}_{\pm }$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana, czyli liczby rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują (są antyprzemienne) między sobą oraz komutują (są przemienne) ze zwykłymi liczbami.

Zobacz też

• antyprzemienność
• algebra różniczkowa
• pochodna Pincherlego
• nawias Poissona
• kanoniczna relacja komutacji
• mechanika kwantowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę