Podprzestrzeń liniowa

Szablon:Spis treści Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór $U$ przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K$ jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów $𝐮,𝐯\in U$ i skalarów $a\in K$ spełnione są warunki:

$0\in U,$

$a𝐮\in U,$

$𝐮+𝐯\in U$Szablon:Odn.

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór $U$ zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że $U$ jest podzbiorem $V.$

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady

Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny.

• W każdej przestrzeni liniowej $V$ zbiory $\{\mathrm{𝟎}\}$ oraz cała przestrzeń $V$ są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
• W przestrzeni współrzędnych ${ℝ}^2$ podzbiór złożony z wektorów postaci $[t,3t]$ dla $t\in ℝ$ jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt $(1,3).$
• Podobnie w przestrzeni ${ℝ}^3$ podzbiór złożony z wektorów postaci $[t,3t,s],$ gdzie $t,s$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty $(0,0,1)$ i $(1,3,0).$
• W przestrzeni liniowej ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
  • zbiór ciągów stałych,
  • zbiór ciągów zbieżnych,
  • zbiór ciągów zbieżnych do 0 (zob. przestrzeń c₀),
  • zbiór ciągów ograniczonychSzablon:OdnSzablon:Odn.
• Jeżeli $V$ jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania na podprzestrzeniach

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową.

• Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ jest podprzestrzenią liniowąSzablon:Odn. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

• Dla rodziny $U_1,\dots ,U_n$ podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ definiuje się ich sumę algebraiczną

$U_1+\dots +U_n:=\{{𝐮}_1+\dots {𝐮}_n:{𝐮}_1\in U_1,\dots ,{𝐮}_n\in U_n\}.$

Suma algebraiczna $U_1+\dots +U_n$ podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V$Szablon:Odn.

Dowód

Niech

$𝐱,𝐲\in U_1+\dots +U_n.$

Wówczas

$𝐱={𝐱}_1+\dots +{𝐱}_n,𝐲={𝐲}_1+\dots +{𝐲}_n$

dla pewnych ${𝐱}_i,{𝐲}_i\in U_i.$ Oznacza to, że

$𝐱+𝐲={𝐱}_1+\dots +{𝐱}_n+{𝐲}_1+\dots +{𝐲}_n=\underset{\in U_1}{\underbrace{{𝐱}_1+{𝐲}_1}}+\dots +\underset{\in U_n}{\underbrace{{𝐱}_n+{𝐲}_n}}\in U_1+\dots +U_n.$

Niech $𝐱\in U+W,$ zaś $c$ będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora $𝐱$ co wyżej uzyskuje się

$c𝐱=c({𝐱}_1+\dots +{𝐱}_n)=\underset{\in U_1}{\underbrace{c{𝐱}_1}}+\dots +\underset{\in U_n}{\underbrace{c{𝐱}_n}}\in U_1+\dots +U_n.$

Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę $\{U_i:i\in I\}$ podprzestrzeni liniowych $V.$ Ich sumę algebraiczną definiuje się jako

$\sum _{i\in I}{U}_i=\{{𝐱}_1+\dots +{𝐱}_n:{𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n\in \bigcup _{i\in I}{U}_i\}.$

Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.

Sumę algebraiczną $U_1+\dots +U_n$ nazywa się prostą, gdy $U_i\cap U_j=\{0\}$ dla $i\ne j;$ stosuje się wówczas oznaczenie $U_1\oplus \dots \oplus U_n.$

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni $V$ wraz z działaniami $+$ i $\cap$ tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraicznaSzablon:Odn.

Wymiar i kowymiar

Szablon:Zobacz też Niech $V$ będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni $V$ sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem $\dim$), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech $U$ i $W$ będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V.$ Między wymiarami przestrzeni $U+W$ i $U\cap W$ zachodzi związekSzablon:OdnSzablon:Odn

$\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W.$

W szczególnościSzablon:OdnSzablon:Odn

$\dim (U\oplus W)=\dim U+\dim W.$

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli $U_1,\dots ,U_n$ są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V,$ że

$\dim V=\dim U_1+\dots +\dim U_n,$

toSzablon:Odn

$V=U_1\oplus \dots \oplus U_n.$

Niech $U$ oraz $W$ będą podprzestrzeniami $V.$ Kowymiarem podprzestrzeni $U$ w $V,$ oznaczanym $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}U$ nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej $V/U.$ Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

$\dim V/U=\dim V-\dim U.$

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K.$ Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru $A$ przestrzeni liniowej $V$ definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór $A,$ $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A$ (inne symbole: $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}A,⟨A⟩$), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru $A,$ tj.

$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A=\{c_1{𝐯}_1+\dots +c_k{𝐯}_k:c_i\in K,{𝐯}_i\in A,i⩽k,k\in \mathbb{N}\}.$

Zbiór $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni $V;$ jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni $V,$ która zawiera zbiór $A$Szablon:Odn. Zbiór $A$ nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A,$ a przestrzeń $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A$ podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór $A$ bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru $A.$

Jeżeli zbiór $A$ generuje przestrzeń $V,$ to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń $V$ jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru $A\ne \{0\}$ generującego przestrzeń $V$ następujące warunki są równoważne

1. zbiór $A$ jest bazą przestrzeni $V,$
2. zbiór $A$ jest liniowo niezależny,
3. każdy wektor przestrzeni $V$ można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru $A$Szablon:Odn.

Przykłady

• Jeżeli $A$ i $B$ są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni $V,$ to

$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}A=A$ oraz $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}(A\cup B)=A+B.$

• Podprzestrzeń przestrzeni ${ℝ}^2$ generowana przez zbiór $\{[1,3]\}$ opisana jest w drugim z przykładów.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Otwarty dostęp Szymon Charzyński, Podprzestrzenie wektorowe, kanał Khan Academy na YouTube, 14 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Przestrzenie wektorowe cz. II. Podprzestrzeń liniowa, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].