Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń ilorazowa – przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Definicja formalna

Szablon:Zobacz też Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, zaś N podprzestrzenią V. Zdefiniujmy na V relację równoważności ∼ taką, że x∼y⟺x−y∈N, czyli x jest w relacji z y wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z N. Klasa równoważności x tzn. zbiór

[x]:={y∈V; y∼x}

jest często oznaczana przez

[x]=x+N,

ponieważ jest równa

[x]={x+n∣n∈N}.

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni N wyznaczonymi przez wektor x.

Przestrzeń ilorazowa V/N jest wówczas zdefiniowana jako V/∼:={[x]; x∈V}, czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad V. Iloczyn skalara przez wektor oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane jako

  • α[x]:=[αx] dla każdego α∈K,
  • [x]+[y]:=[x+y].

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają V/N w przestrzeń liniową nad K.

Przykład

Rozpatrzmy przestrzeń wektorową ℝn. Niech m⩽n, i niech ℝm⊂ℝn oznacza podprzestrzeń rozpinaną przez pierwsze m wektorów bazy kanonicznej ℝn. Do ℝm należą ciągi z ℝn, które są równe 0 na n−m ostatnich współrzędnych. Zdefiniujmy relację równoważności ∼ jako

x∼y⇔x−y∈ℝm.

Wynika z tego, że dwa wektory z ℝn są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich n−m współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa ℝn/ℝm=ℝn/∼ jest izomorficzna z ℝn−m w oczywisty sposób.

Własności

Jeżeli V daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni U i W:

V=U⊕W,

to przestrzeń ilorazowa V/U jest naturalnie izomorficzna z W.

Jeżeli U jest podprzestrzenią V, to kowymiar przestrzeni U w V jest zdefiniowany jako wymiar V/U. Jeżeli V jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów V oraz U:

codim⁡U=dim⁡V/U=dim⁡V−dim⁡U.

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z V na przestrzeń ilorazową V/U dany jako przesłanie elementu x na jego klasę równoważności [x]. Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń U.

Niech T:V→W będzie przekształceniem liniowym. Jądrem T, oznaczanym przez ker⁡T jest zbiór wszystkich x∈V takich, że Tx=0. Jądro jest podprzestrzenią V. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniowej mówi, że przestrzeń ilorazowa V/ker⁡T jest izomorficzna z obrazem V w W. Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar V jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych T:V→W jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa W/im⁡T, zaś V/ker⁡T≃im⁡T.

Jeżeli T będzie dane tak, aby W⊆ker⁡T, zaś R:V→V/W będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe S:V/W→W, że S∘R=T. Ponadto jeśli:

  • S jest epimorfizmem, to T również jest epimorfizmem,
  • W=ker⁡T, to S jest monomorfizmem.

Przestrzenie Banacha

Jeżeli X jest przestrzenią Banacha, a M domkniętą podprzestrzenią X, to iloraz X/M również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na X/M wzorem

‖[x]‖X/M=infm∈M‖x−m‖X.

Przestrzeń ilorazowa X/M jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

Przykłady

Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale [0,1], zaś M oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji f∈C[0,1] takich, że f(0)=0. Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji g jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa C[0,1]/M jest izomorficzna z ℝ.

Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to przestrzeń ilorazowa X/M jest izomorficzna z dopełnieniem ortogonalnym M.

Zobacz też

Szablon:Algebra liniowa

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Przestrzeń_ilorazowa_(algebra_liniowa)&oldid=3326”