Twierdzenie o rzędzie

Szablon:Spis treści Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie

Szablon:Zobacz też Niech $\mathrm{A}:V\to W$ będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi $V,W.$ Wówczas zachodzi równość

$\dim \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{A}=\dim \ker \mathrm{A}+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A},$

co oznacza się również

$\dim V=\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{A}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{A},$

gdzie $\dim$ oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m},\ker ,\mathrm{i}\mathrm{m}$ oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k},$ nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli $𝐀$ jest macierzą typu $m\times n,$ czyli o $m$ wierszach i $n$ kolumnach, to

$n=\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}𝐀+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}𝐀,$

gdzie $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}$ i $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}$ oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód

Szablon:Zobacz też Niech $U$ oznacza podprzestrzeń przestrzeni $V$ spełniającą $V=\ker \mathrm{A}\oplus U,$ a układ ${𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_k$ będzie bazą $U$ (tj. wraz z bazą $\ker \mathrm{A}$ tworzy ona bazę $V$). Wówczas układ $\mathrm{A}({𝐛}_1),\dots ,\mathrm{A}({𝐛}_k)$ jest bazą $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}.$

Generowanie

Niech $𝐰\in \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A},$ wtedy $𝐰=\mathrm{A}(𝐯)$ dla pewnego $𝐯,$ który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci $𝐯=𝐱+𝐲,$ gdzie $𝐱\in \ker \mathrm{A}$ oraz $𝐲\in U,$ który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako $𝐲=y_1{𝐛}_1+\dots +y_k{𝐛}_k$ dla pewnych skalarów $y_1,\dots ,y_k.$ Stąd

$𝐰=\mathrm{A}(𝐯)=\mathrm{A}(𝐱+𝐲)=\mathrm{A}(𝐱)+\mathrm{A}(𝐲)=\mathrm{𝟎}+\mathrm{A}(y_1{𝐛}_1+\dots +y_k{𝐛}_k)=y_1\mathrm{A}({𝐛}_1)+\dots +y_k\mathrm{A}({𝐛}_k),$

co wobec dowolności $𝐰$ oznacza, że układ $\mathrm{A}({𝐛}_1),\dots ,\mathrm{A}({𝐛}_k)$ rozpina $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}.$

Liniowa niezależność

Niech

$c_1\mathrm{A}({𝐛}_1)+\dots +c_k\mathrm{A}({𝐛}_k)=\mathrm{𝟎},$

wtedy $\mathrm{A}(c_1{𝐛}_1+\dots +c_k{𝐛}_k)=0,$ czyli $c_1{𝐛}_1+\dots +c_k{𝐛}_k$ należy równocześnie do $U$ (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do $\ker \mathrm{A}$ (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to $c_1{𝐛}_1+\dots +c_k{𝐛}_k=\mathrm{𝟎},$ czyli

$c_1,\dots ,c_k=0$

(na mocy liniowej niezależności bazy ${𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_k$), co dowodzi liniowej niezależności $\mathrm{A}({𝐛}_1),\dots ,\mathrm{A}({𝐛}_k).$

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż $\dim U=\dim \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{A}$ i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy

Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli $\dim U=\mathrm{\infty },$ to układ ${𝐛}_1,\dots ,{𝐛}_k$ wystarczy zastąpić dowolną bazą $({𝐛}_i{)}_{i\in I}$ przestrzeni $U;$ jeśli $\dim V=\mathrm{\infty },$ to twierdzenie to mówi, że przestrzenie $\ker \mathrm{A}$ oraz $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}$ nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski

Szablon:Zobacz też Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

• izomorfizm liniowy $V\to W$ przeprowadza dowolną bazę $V$ na bazę $W,$ gdyż wtedy $\dim V=\dim \ker \mathrm{A}+\dim \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}=\dim \{\mathrm{𝟎}\}+\dim W=\dim W;$
• ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
• jeśli dla przekształcenia liniowego $\mathrm{A}:V\to W$ jest $\dim V=\dim W<\mathrm{\infty },$ to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:

  $\ker \mathrm{A}=\{\mathrm{𝟎}\}\iff \mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{A}=0\iff \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{A}=\dim V\iff \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{A}=\dim W\iff \mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{A}=W.$

Zobacz też

• lemat o rozszczepianiu
• nierówność Sylvestera
• twierdzenie Kroneckera-Capellego
• twierdzenie o izomorfizmie