Wektor zerowy

Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, $0,$ często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem $\mathrm{𝟎},$ czy strzałką $\overrightarrow{0}.$ Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

W dalszej części artykułu pierwszy symbol będzie oznaczał element neutralny dodawania w ciele (skalar zerowy), drugi – w przestrzeni liniowej (wektor zerowy).

Własności

Przestrzeń liniową można scharakteryzować jako grupę abelową (tzn. grupę z działaniem przemiennym) ze zgodnym z nim działaniem mnożenia przez skalar; element neutralny działania definiuje się jako taki wektor $\mathrm{𝟎},$ który dla każdego elementu $𝐱$ tej przestrzeni spełnia

$𝐱\mathbf{+}\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}\mathbf{+}𝐱=𝐱,$

przy czym w grupie element ten jest wyznaczony jednoznacznie i służy zdefiniowaniu wektora przeciwnego do danego (jako wektora, który w sumie z danym daje wektor zerowy). Zgodnie z aksjomatami przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora $𝐱$ oraz skalara (elementu z ciała) $a$ zachodzą tożsamości:

$0𝐱=\mathrm{𝟎}$

oraz

$a\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}.$

Z pierwszej z nich na mocy zasady indukcji dla dowolnego układu wektorów ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n$ można uzyskać, iż

$a_1{𝐱}_1+\dots +a_n{𝐱}_n=\mathrm{𝟎},$

o ile tylko $a_1=\dots =a_n=0;$ z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_n$ nazywa się niezależnym (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest zależny). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny.

Dodatkowe struktury

W przestrzeniach współrzędnych (przestrzenie liniowe z wybraną bazą uporządkowaną) wektor zerowy to wektor o wszystkich składowych równych zeru, czyli $(0,\dots ,0).$ W przestrzeniach afinicznych wektor zerowy wyznaczany jest przez dowolny punkt $\mathrm{p}$ tej przestrzeni jako $\mathrm{p}-\mathrm{p}=\overrightarrow{\mathrm{p}\mathrm{p}}.$ W przestrzeni liniowej z normą jedynym wektorem o normie równej zero jest wektor zerowy. W przestrzeniach liniowych z półnormą wektorem zerowym nazywa się dowolny wektor o zerowej półnormie; w przestrzeni Minkowskiego dla odróżnienia od jedynego wektora o wszystkich współrzędnych zerowych wektor o zerowej normie Minkowskiego nazywa się też wektorem światłopodobnym. W przestrzeniach unitarnych (tzn. przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym) zachodzi $⟨\mathrm{𝟎},𝐱⟩=⟨𝐱,\mathrm{𝟎}⟩=0,$ skąd również $0⟨𝐱,𝐲⟩=0$ dla dowolnych wektorów $𝐱,𝐲.$